我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分 （1）
做这件事 的 直接原因 是 平阳睡狮郭峰君 郭老师 发的 一个 帖 《【笑话】反民科吧吧主真是个大逗比》 http://tieba.baidu.com/p/6348101460 。
微积分 和 高等数学， 和 初等数学 之间 仿佛 有一个 沟， 但 其实， 只要 掌握了 极限 和 微积分 基本原理， 微积分 和 高等数学 并不难 。
我把 课程 大纲 拟定 如下 ：
1 极限， 求 极限 其实 很简单， 仍然 是 用 初等数学 的 加减乘除， 三江老师 可以 举例 。
2 导数 和 积分 的 直观概念 和 物理意义， 导数 就是 斜率， 对于 曲线， 导数 是 某一点 的 斜率， 这是一个 极限，可以用 求极限 的 方法 求得 。
积分 就是 求 函数 和 x 轴 之间 的 曲边形 面积， 可以 指定 区间 [x1, x2] 来 求得 x1 ~ x2 之间 的 曲边形 面积 。
以 物理意义 来说， 最常见 的 例子 就是 匀加速运动， 匀加速运动 的 v = at， 是一个 正比例函数， 函数 曲线 是 一条 直线， 这条直线 和 x 轴 组成 的 三角形 面积 就是 路程， 路程 也 就是 速度 v 对 时间 t 的 积分 。
3 求 二次函数 的 导数， 用 ⊿y / ⊿x ， ⊿x -> 0 时 ， 求 ⊿y / ⊿x 的 极限 的 方法 来 求 导数 。
求 正比例函数 的 积分， 用 求 三角形面积 的 方法 来 求 积分，
求 变加速运动 的 积分， 用 求 曲边形 面积 的 方法 来 求 积分， 用 小矩形 + 数列极限 的 方法 来 求 积分， 设 a = kt ， 求 v 、s 。
4 微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式
……
用 微分 、导数 运算规则 和 公式 求导数，
用 微分 、导数 、积分 运算规则 和 公式 求 积分 。
……
欢迎 大家 积极 参与 。
冥河乘船人 杏园别居 全科学理论体系 银河科学院 三江方士
本文 已 发到了 反相吧 《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分》 http://tieba.baidu.com/p/6348409025 。
第 1 讲 ----------------------------------------------
求 二次函数 y = f(x) = ax² + b 的 导数 。
导数 是 ⊿y / ⊿x ， ⊿x -> 0 的 极限， 对于 二次函数 y = f(x) = ax² + b ，
⊿y / ⊿x = ( f( x + ⊿x ) - f( x ) ) / ⊿x
= ( (a(x + ⊿x)² + b) - (ax² + b) ) / ⊿x
= ( a ( x² + 2x⊿x + ⊿x² ) + b - ax² - b ) / ⊿x
= ( ax² + 2ax⊿x + a⊿x² + b - ax² - b ) / ⊿x
= ( 2ax⊿x + a⊿x² ) / ⊿x
= 2ax + a⊿x
当 ⊿x -> 0 时， a⊿x -> 0， 所以 2ax + a⊿x = 2ax ，
即 ⊿y / ⊿x， ⊿x -> 0 = 2ax 。
所以 二次函数 y = ax² + b 的 导数 是 一次函数 y′ = 2ax 。
⊿y / ⊿x， ⊿x -> 0 = 2ax ， 用 微分 的 形式 表示 就是 dy / dx = 2ax ， 即 y′ = f ′ ( x ) = dy / dx = 2ax 。
第 2 讲 ----------------------------------------------
求 一次函数 y = kx 的 定积分 。
定积分 是 x 轴 上的 一个 区间 的 函数曲线 和 x 轴 围成 的 图形 的 面积 。
我们可以把 函数 f(x) 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 写作 ∫ f(x) dx , [x1, x2] ， 显然， 教科书 上 的 写法 不是 这样， 教科书 的 写法 是 把 x1, x2 写在 积分符号 ∫ 的 后面 作为 上标 和 下标， 这样 在 电脑 上 打字 不方便， 所以， 就写成 ∫ f(x) dx , [x1, x2] 的 形式 。
一次函数 y = kx 在 [x1, x2] 区间 上 的 定积分 是 一个 三角形 或者 梯形， 这很 显而易见 。 可以通过 三角形 和 梯形 的 面积公式 来 计算 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 面积 。 但是 我们 现在 用 积分 的 方式 来 计算 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 面积 。
设 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 图形 为 S， 其 面积 也用 S 表示 。
将 S 沿 x 轴 切分 为 n 个 柱状 小矩形， 用 这些 小矩形 来 近似 的 表示 S ， 这些 小矩形 的 面积 的 和 为 S近似， S近似 就是 S 的 近似值， n 越大， S近似 和 S 的 近似程度 越高 。
这样的话， 有 S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn 。
设 第 m 个 小矩形 的 面积 是 sm， 则
sm = (x1 + (x2 - x1)/n * m) * (x2 - x1)/n
= x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * m
S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn
= x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * 1 + x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * 2 + …… + x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * n
= x1(x2 - x1)/n * n + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
= x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
对于 数列和 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ， 当 n -> 无穷 时， 有
1/n方 + 2/n方 + 3/n方 + …… + (n - 2)/n方 + (n - 1)/n方 + n/n方
= ( 1/n方 + n/n方 ) + ( 2/n方 + (n - 1)/n方 ) + ( 3/n方 + (n - 2)/n方 ) + ……
= (n + 1)/n方 + (n + 1)/n方 + (n + 1)/n方 + ……
可以看到， 第 1 项 和 第 n 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方， 第 2 项 和 第 n - 1 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方， 第 3 项 和 第 n - 2 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方，
所以， 一共有 n/2 个 (n + 1)/n方， 所以
= n/2 * (n + 1)/n方
= n/2 * (1/n + 1/n方)
= 1/2 + 1/2n
因为 n -> 无穷， 所以 1/2n -> 0， 所以
= 1/2 。
即 当 n -> 无穷 时， 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 = 1/2， 所以
S近似 = x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
= x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * 1/2
= x1x2 - x1方 + 1/2 * ( x2方 - 2x2x1 + x1方 )
= x1x2 - x1方 + 1/2 * x2方 - x2x1 + 1/2 * x1方
= 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方
可以看到， 1/2 * x2方 是 x2 、原点 、x 轴 组成的 三角形 的 面积 S三角形2， 1/2 * x1方 是 x1 、原点 、x 轴 组成的 三角形 的 面积 S三角形1，
S三角形2 - S三角形1 就是 x1 ~ x2 之间 的 梯形面积， 就是 一次函数 y = kx 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 。
用 梯形公式 可以 推出 同样 的 结果， 梯形公式 = 1/2 * (上底 + 下底) * 高，
上底 = x1， 下底 = x2， 高 = x2 - x1 ，所以
x1 ~ x2 之间 的 梯形面积 = 1/2 * (x1 + x2) * (x2 - x1)
= 1/2 * (x2方 - x1方)
= 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方
所以， 当 n -> 无穷 时， S近似 = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
因为 当 n -> 无穷 时， S = S近似， 所以， S = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
即 一次函数 y= kx 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 = S = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
写作 ∫ f(x) dx , [x1, x2] = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 。
上面 的 推导 把 y = kx 的 系数 k 忘了， 把 k 算进去 的 话， 推导应该是：
sm = k * (x1 + (x2 - x1)/n * m) * (x2 - x1)/n
= k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * m
S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn
= k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * 1 + k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * 2 + …… + k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * n
= k * ( x1(x2 - x1)/n * n + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ) )
= k * ( x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ) )
当 n -> 无穷 时，
= k * ( x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * 1/2 )
= k * ( 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 )
= 1/2 * k * x2方 - 1/2 * k * x1方
第 3 讲 ----------------------------------------------
求 一次函数 y = kx 的 原函数 。
设 函数 f(x) 的 导数 是 f ′ (x) ， 则 f(x) 是 f ′ (x) 的 原函数 。
现在 我们 要求 y = f(x) = kx 的 原函数， 即 导数 是 f(x) 的 函数， 记作 F(x) 。
f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 ∫ f(x) dx , [0, x] = f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
f(x) 在 [0, x + ⊿x] 区间 上的 定积分 ∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] = f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x + f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] - ∫ f(x) dx , [0, x] = ( f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x + f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x ) - ( f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x )
= f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x
= f (⊿x * n + ⊿x) * ⊿x
= f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
将 f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 记为 函数： F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] ， x 是 任意 的 x ， 则
F(x + ⊿x) - F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] - ∫ f(x) dx , [0, x] = f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
即 F(x + ⊿x) - F(x) = f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f (x + ⊿x) ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
当 ⊿x -> 0 时，
x + ⊿x -> x
f (x + ⊿x) -> f(x)
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f (x + ⊿x) -> f(x)
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x -> f(x)
即 ( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f(x) ， ⊿x -> 0 ，
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x ， ⊿x -> 0 就是 F(x) 的 导数 F ′ (x) ，
即 F ′ (x) = f(x) ，
所以 f(x) 是 F(x) 的 导数 。
所以 F(x) 是 f(x) 的 原函数 。
原函数 又称为 不定积分， 所以， F(x) 是 f(x) 的 不定积分 。
这就是 微积分基本定理 。
还可以这样来表述， f(x) 的 不定积分 = f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 ， x 是 任意 的 x 。
表达 为 公式 ： ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx , [0, x] 。
也可以这样表述， f(x) 的 原函数 F(x) = f(x) 的 不定积分 ，
表达 为 公式 ： F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx , [0, x] 。
教科书 对 微积分基本定理 的 表述 是 ： 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
根据 微积分基本定理 ， 我们来求 一次函数 y = f(x) = kx 的 原函数 F(x)，
F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x]
我们在 第 2 讲 中 推出了 一次函数 的 定积分 公式： ∫ f(x) dx , [x1, x2] = 1/2 * k * x2方 - 1/2 * k * x1方 ， 所以，
∫ f(x) dx , [0, x] = 1/2 * k * x方 - 1/2 * k * 0方
= 1/2 * k * x方 - 0
= 1/2 * k * x方
即 F(x) = 1/2 * k * x方 。
令 Fc (x) = F(x) + C， C 是 任意常数 ，
可以发现， Fc (x) 的 导数 也是 f(x) ， 实际上 f(x) 有 无数个 原函数 。
所以， 原函数-不定积分 公式 F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] 可以 推广 为 ：
F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] + C ， C 为 任意常数 。
第 4 讲 ----------------------------------------------
求 二次函数 y = ax² 的 原函数 。
记 二次函数 y = f(x) = ax² 的 原函数 为 F(x) ，
根据 第 3 讲 中 得出 的 原函数-不定积分 公式 F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] ， 有
F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x]
= f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x
= a (⊿x * 1)² * ⊿x + a (⊿x * 2)² * ⊿x + …… + a (⊿x * n)² * ⊿x
= a ⊿x³ * 1² + a ⊿x³ * 2² + …… + a ⊿x³ * n²
= a ⊿x³ * (1² + 2² + …… + n²)
根据 平方和公式， 1² + 2² + …… + n² = n(n+1)(2n + 1)/6 ，
a ⊿x³ * (1² + 2² + …… + n²)
= a ⊿x³ * n(n+1)(2n + 1)/6
= a ⊿x³ * (n² + n)(2n + 1)/6
= a ⊿x³ * (2n³ + n² + 2n² + n)/6
= ( a ⊿x³ * 2n³ + a ⊿x³ * n² + a ⊿x³ * 2n² + a ⊿x³ * n ) / 6
因为 n = x / ⊿x ， 所以 ⊿x * n = x ， 所以
= ( 2ax³ + ax²⊿x + 2ax²⊿x + ax⊿x² ) / 6
因为 ⊿x -> 0 ， 所以 ax²⊿x -> 0 ， 2ax²⊿x -> 0 ， ax⊿x² -> 0 ， 所以
= 2ax³ / 6
= ax³ / 3
即 F(x) = ax³ / 3 ， 再加上 常数 C，
F(x) = ax³ / 3 + C ， C 为 任意常数
这就是 二次函数 y = ax² 的 原函数 。
第 5 讲 ----------------------------------------------
用 微分 、导数 运算规则 和 公式 求导数 。
微积分 公式 运算法则 在 网上 资料很多， 比如 《高数微积分基本公式大全》 https://wenku.baidu.com/view/4deedf4a767f5acfa1c7cdf8.html ， 《积分运算法则》 https://wenku.baidu.com/view/5adc94bbe43a580216fc700abb68a98271feacad.html 。
举例， 求 y = ax³ + bx² + cx + d 的 导数 y ′ 。
y ′ = ( ax³ + bx² + cx + d ) ′
= ( ax³ ) ′ + ( bx² ) ′ + ( cx ) ′ + ( d ) ′
= a ( x³ ) ′ + b ( x² ) ′ + c ( x ) ′ + ( d ) ′
= a * 3x² + b * 2x + c * 1 + 0
= 3ax² + 2bx + c
第 6 讲 ----------------------------------------------
用 微分 、导数 、积分 运算规则 和 公式 求 积分 。
微积分 公式 运算法则 在 网上 资料很多， 比如 《高数微积分基本公式大全》 https://wenku.baidu.com/view/4deedf4a767f5acfa1c7cdf8.html ， 《积分运算法则》 https://wenku.baidu.com/view/5adc94bbe43a580216fc700abb68a98271feacad.html 。
举例， 求 y = ax³ + bx² + cx + k 的 不定积分 Y 。
Y = ∫ ( ax³ + bx² + cx + k ) dx
= ∫ ax³ dx + ∫ bx² dx + ∫ cx dx + ∫ k dx
= a ∫ x³ dx + b ∫ x² dx + c ∫ x dx + ∫ k dx
= ax⁴ / 4 + C1 + bx³ / 3 + C2 + cx² / 2 + C3 + kx + C4
= ax⁴ / 4 + bx³ / 3 + cx² / 2 + kx + C1 + C2 + C3 + C4
= ax⁴ / 4 + bx³ / 3 + cx² / 2 + kx + C ， C 为 任意常数
即 Y = ∫ ( ax³ + bx² + cx + k ) dx = ax⁴ / 4 + bx³ / 3 + cx² / 2 + kx + C ， C 为 任意常数 。
换元积分法 ：
求 y = x / (x + b) 的 不定积分 Y 。
Y = ∫ x / (x + b) dx
= ∫ ( (x + b) - b ) / (x + b) dx
根据 凑微分 公式 ∫ f ( ax + b ) dx = 1/a ∫ f ( ax + b ) d ( ax + b )
∫ ( (x + b) - b ) / (x + b) dx = ∫ ( (x + b) - b ) / (x + b) d (x + b)
设 u = x + b， 则
∫ ( (x + b) - b ) / (x + b) d (x + b) = ∫ ( u - b ) / u du
= ∫ ( 1 - b / u ) du
= ∫ du - ∫ b / u du
= u - b ∫ 1 / u du
= u - b * ln | u |
代入 u = x + b ，
= x + b - b * ln | x + b |
加上 常数 C ，
= x + b - b * ln | x + b | + C ， C 为 任意常数 ，
b + C 合并为 C， 于是
= x - b * ln | x + b | + C ， C 为 任意常数 。
即 Y = ∫ x / (x + b) dx = x - b * ln | x + b | + C ， C 为 任意常数 。
分部积分法 ：
这个 大家 自己 到 网上 查资料 吧， 我也不会， 哈哈哈 。
在 《高数微积分基本公式大全》 https://wenku.baidu.com/view/4deedf4a767f5acfa1c7cdf8.html ， 《积分运算法则》 https://wenku.baidu.com/view/5adc94bbe43a580216fc700abb68a98271feacad.html 这 2 篇 资料 里 有 对 分部积分法 的 介绍 。
第 7 讲 ----------------------------------------------
求 变加速 运动 的 解， 加速度 a = kt ， k 为 常数， t 是 时间 t 。 质点 的 初始位置 是 X₀ ， 初始速度 是 V₀ 。
解 就是 质点 位置 x 、速度 v 和 时间 t 的 函数 关系 。
v = ∫ a dt = ∫ kt dt = k ∫ t dt = k * 1/2 * t² = 1/2 k t² + C， C 为 任意常数 。
即 v = 1/2 k t² + C (1) 式
因为 质点 初始速度 是 V₀ ， 即 t = 0 时 ， v = V₀ ， 代入 (1) 式 ：
V₀ = 1/2 k * 0² + C
V₀ = 0 + C
V₀ = C
C = V₀
将 C = V₀ 代入 (1) 式 ：
v = 1/2 k t² + V₀ (2) 式
(2) 式 就是 v 和 t 的 函数 关系 。
x = ∫ v dt = ∫ ( 1/2 k t² + V₀ ) dt = ∫ 1/2 k t² dt + ∫ V₀ dt = 1/2 k * ∫ t² dt + V₀ * t = 1/2 k * 1/3 t³ + V₀ * t
= 1/6 k t³ + V₀ t + C ， C 为 任意常数 。
即 x = 1/6 k t³ + V₀ t + C (3) 式
因为 质点 初始位置 是 X₀ ， 即 t = 0 时， x = X₀ ， 代入 (3) 式 ：
X₀ = 1/6 k * 0³ + V₀ * 0 + C
X₀ = 0 + 0 + C
X₀ = C
C = X₀
将 C = X₀ 代入 (3) 式 ：
x = 1/6 k t³ + V₀ t + X₀ (4) 式
(4) 式 就是 x 和 t 的 函数 关系 。
所以 (2) 式 、(4) 式 就是 本题 的 解 ：
v = 1/2 k t² + V₀
x = 1/6 k t³ + V₀ t + X₀
第 8 讲 ----------------------------------------------
微分 是 什么 ？ 微分 就是 ⊿x , ⊿x -> 0 。 可以 给 微分 这样 定义 ：
dx = ⊿x , ⊿x -> 0
dy = ⊿y , ⊿y -> 0
……
d变量 = ⊿变量 , ⊿变量 -> 0
微分 是 一个 无穷小 。
积分 是 求 微分 的 和 。 积分符号 ∫ 的 含义 是 求 微分 的 和 ， 比如 ：
∫ dx = x
∫ f(x) dx = ∫ ds = s
ds = f(x) dx ， f(x) dx 是 x 处 的 f(x) 和 dx 组成 的 小矩形 面积， s 是 [0 , x] 区间 上 f(x) 和 x 轴 围成 的 曲边形 面积 。
因为 dx -> 0， 所以 f(x) dx -> 0 ， 所以 ds -> 0 ， 所以 ds 也是 微分 。
微分 的 最常见 的 用途 是 求导数， 其它 的 还有 推导 匀速圆周运动 的 向心力 公式， 已知 圆周率 π 推导 圆面积 公式 等等 。
推导 匀速圆周运动 的 向心力 公式 和 已知 圆周率 π 推导 圆面积 公式 的 方法 也可以算是 微元法 。
可以 百度 搜索 “匀速圆周运动 向心力公式 推导” 、“微元法” 看看， 也可以看看 我写的文章 《圆面积 公式 推导》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11892925.html 。
微元法 和 求导数 一样， 是一个 求极限 的 问题 。
第 9 讲 ----------------------------------------------
从 微分 导数 积分 的 公式 和 运算法则 可以 看出， 微积分 的 困难 发生在 以下 几种 情况 ：
1 分母多项式
2 带根号的情况
3 微分量 和 积分量 有关 的 情况
4 微分方程组， 注意 是 方程组， 是 组
5 以上 几种 情况 的 组合
微分量 和 积分量 有关 是指 比如 简谐运动 、天体力学 的 一体 二体 …… n 体 运动 。 简谐运动 就是 弹簧振子， 振子小球 的 加速度 a 是 位移 x 的 二阶导数， 是 微分量， a 和 弹力 F 有关， F = kx， F 和 x 有关， x 是 a 的 二阶积分 ， x 是 积分量， 所以， a 和 x 相互关联， 这就是 微分量 和 积分量 有关 的 情况 。 当然， 简谐运动 的 微分方程 是 可以解 的， 但是 比 单纯 的 微分 积分 极限 问题 要 复杂一些 。 因为 微分量 和 积分量 互相关联， 所以 不能用 单纯 微分 或者 积分 的 方法 求解 。
简谐运动 的 微分方程 ： d²x / dt² = - kx / m， x 为 位移， k 为 弹簧 的 弹性系数， m 为 振子小球 的 质量， k 和 m 是 常数， x , t 是 变量， t 是 自变量
可以 对 等式两边 两次 积分 来 求出 左边 的 x， 但 这样 要对 等式右边 进行 两次 积分， 等式右边 含有 x， x 和 t 的 函数关系 未知，这本身 就是 微分方程 要 求取 的 解， 所以 对 等式右边 的 积分 无从下手 。 所以 用 单纯 微分 或者 单纯 积分 的 方法 不能 解 这个 微分方程， 需要 一些 技巧 。
天体力学 的 n 体 运动， 和 简谐运动 类似， 天体（质点）的 加速度 a 是 位移 的 二阶导数， a 和 引力 F 有关， 引力 F 和 位置 有关， 位置（位移） 是 a 的 二阶积分， 所以， a 和 位置 互相关联， 这也是 微分量 和 积分量 有关 。
