圆面积 公式 推导
可以 这样 来 推导 圆面积 公式， 把 圆 分成 n 个 小扇形， 又可以看作 由 n 边形 来 近似表示 圆， 每条边 的 两个 端点 连线 到 圆心， 这样 圆 就可以由 n 个 小三角形 近似 构成 。
所以， 圆 的 面积 S = n * 小三角形面积 ， 设 小三角形 的 底边 为 a， 高 为 h，
S = n * 1/2 * a * h
当 n -> 无穷 时， n * a -> 圆周长 2 π r ， h -> r，
所以， S = 1/2 * 2 π r * r = π r ² 。
还可以 用 另一种 方法 来 推导 圆面积 公式， 就是 把 圆 看作是 一个一个 宽度 很窄 的 小矩形 组成 的 ，
在 直角坐标系 里， 以 原点 O 为 圆心， r 为 半径， 作一个 圆， 圆 在 第一象限 的 部分 是 1/4 的 圆， 是 一个 扇形 。
设 这个 扇形 的 面积 为 S ， 扇形 可以 看作 是 很多 宽度 很窄 的 小矩形 组成， 设 小矩形 的 宽度 为 dx， x 处 的 小矩形 的 高 为 h， 小矩形 面积 为 S小 ，
h = 根号 ( r ² - x ² )
S小 = h * dx = 根号 ( r ² - x ² ) dx
S = ʃ S小 = ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx , [ 0, r ]
S = ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx , [ 0, r ] (1) 式
(1) 式 就是 根号 ( r ² - x ² ) 在 [ 0, r ] 区间 上 的 定积分 。
先求 不定积分，
ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx
= ʃ r * 根号 [ 1 - ( x / r ) ² ] dx
= r ʃ 根号 [ 1 - ( x / r ) ² ] dx (2) 式
令 u = x / r ，
du / dx = ( x / r ) ′ = 1 / r
dx = r * du (3) 式
将 u 和 (3) 式 带入 (2) 式 ，
r ʃ 根号 [ 1 - ( x / r ) ² ] dx
= r * ʃ 根号 ( 1 - u ² ) r * du
= r ² * ʃ 根号 ( 1 - u ² ) du (4) 式
令 u = sin α ，
ʃ 根号 ( 1 - u ² ) du
= ʃ 根号 [ 1 - ( sin α ) ² ] d ( sin α )
= ʃ cos α d ( sin α ) (5) 式
因为 d ( sin α ) / dα = ( sin α ) ′ = cos α
d ( sin α ) = cos α dα
代入 (5) 式 ，
ʃ cos α d ( sin α ) = ʃ cos α cos α dα
= ʃ ( cos α ) ² dα (6) 式
用 分部积分法 ，
ʃ ( cos α ) ² dα
= ʃ cos α cos α dα
= ʃ ( sin α ) ′ cos α dα
= sin α cos α - ʃ sin α ( cos α ) ′ dα
= sin α cos α - ʃ sin α ( - sin α ) dα
= sin α cos α + ʃ ( sin α ) ² dα
= sin α cos α + ʃ [ 1 - ( cos α ) ² ] dα
= sin α cos α + ʃ dα - ʃ ( cos α ) ² ] dα
= sin α cos α + α - ʃ ( cos α ) ² ] dα
ʃ ( cos α ) ² dα = sin α cos α + α - ʃ ( cos α ) ² ] dα
2 * ʃ ( cos α ) ² dα = sin α cos α + α
ʃ ( cos α ) ² dα = 1/2 * ( sin α cos α + α )
代回 (6) 式 ，
ʃ cos α d ( sin α ) = ʃ ( cos α ) ² dα
= 1/2 * ( sin α cos α + α )
代回 (5) 式 ，
ʃ 根号 ( 1 - u ² ) du
= ʃ cos α d ( sin α )
= 1/2 * ( sin α cos α + α )
代回 (4) 式 ，
r ʃ 根号 [ 1 - ( x / r ) ² ] dx
= r ² * ʃ 根号 ( 1 - u ² ) du
= r ² * 1/2 * ( sin α cos α + α )
代回 (2) 式
ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx
= r ʃ 根号 [ 1 - ( x / r ) ² ] dx
= r ² * 1/2 * ( sin α cos α + α )
= 1/2 * r ² * ( sin α cos α + α )
ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx
= 1/2 * r ² * ( sin α cos α + α )
因为 u = x / r ， u = sin α ，
α = arcsin u = arcsin ( x / r )
现在 开始 求 定积分 ，
S = ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx , [ 0, r ]
积分区间 是 [ 0, r ] ， 即 x ∈ [ 0, r ] ， 对应的 α 的 区间 是
[ arcsin ( 0 / r ) , arcsin ( r / r ) ]
= [ arcsin ( 0 ) , arcsin ( 1 ) ]
= [ 0, π / 2 ] ，
即 α ∈ [ 0 , π / 2 ]
S = ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx , [ 0, r ]
= 1/2 * r ² * [ sin ( π / 2 ) cos ( π / 2 ) + π / 2 ] - 1/2 * r ² * [ sin ( 0 ) cos ( 0 ) + 0 ]
= 1/2 * r ² * ( 0 + π / 2 ) - 1/2 * r ² * ( 0 + 0 )
= 1/2 * r ² * ( 0 + π / 2 ) - 0
= 1/2 * r ² * π / 2
= π / 4 * r ²
因为 扇形面积 S 是 圆面积 的 1/4 ， 圆面积 = S * 4 = π / 4 * r ² * 4 = π r ² 。
于是 ， 就得到了 圆面积 = π r ² 。
这篇文章 写于 2019-11-19 ， ʃ 根号 ( r ² - x ² ) dx 的 积分过程 是 2020-08-05 补充 。
