人造卫星轨道 和 天体轨道 原理

根据 匀速圆周运动 向心力 公式，  可以计算出 第一宇宙速度，  同样的道理， 可以计算出  卫星 在 轨道半径 r 处 的 公转 速度 v   。

 

卫星 绕 地球 公转 可 看作 是 匀速圆周运动，  所以，  设 地球 质量 为 M， 卫星 质量 为 m，   轨道半径 为 r，  将 地球 和 卫星 看作 质点，  r 是 地心 到 卫星 的 距离  。 

 

地球 对 卫星 的 引力   F引 = G M m / r²      

卫星 公转 匀速圆周运动 的 向心力   F向 = m v²  / r      

 

因为    F引 = F向   ，

所以     G M m / r² = m v²  / r            ，

v = ( G M / r ) 开方     ， 这就是 卫星 的 轨道公式， 呵呵呵 。   设 轨道半径 为 r，  则 卫星 的 公转速度（线速度） v =  ( G M / r ) 开方   。

 

就是说，    要 让 卫星 在 轨道半径 为 r 的 轨道 上 绕 地球 公转，    卫星 的 线速度  v =  ( G M / r ) 开方   。

 

所以，  要把 卫星 送入 半径 为 r 的 轨道，   一个 主要 步骤 是 让 卫星 在  r  处 的 速度 v = ( G M / r ) 开方，  且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向）    。

 

这个 步骤 由 末级火箭 来 完成   。     对 末级火箭 的 控制 应该算 精密控制 技术 吧，  哈哈    。

 

对于 自然界 中的 天体 来说，  比如 太阳 和 地球，  以及 9 大行星， 彗星，     就以  地球 和 太阳 为例，    如果 地球 要以 匀速圆周运动 围绕 太阳 公转， 即 地球 公转 轨道 是 圆形，    则 需要 地球 在 距离 太阳 r 时，   速度  刚好 是   v =  ( G M / r ) 开方  ，  且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 地球中心 和 太阳中心 的 连线 的 方向） ，  显然，  在  自然界 中，  这样的 概率 很小 。

所以，  天体 的 轨道 很少 是 正圆，   普遍 是 椭圆 。     但 这个 “椭圆”   可以说  不是 严格 的 椭圆，     而是一个  近似 椭圆 的 环线   。

环线 就是指 不是 封闭 的，    即 行星 下次 公转 的 轨道 和 本次 公转 的 轨道 不是 完全重合 的，  会 有 一点 偏离，  偏离 后 仍然 是 一个 近似 椭圆 的 环线  。

这种 现象 其实 就是 “进动”     。

 

天体 的 进动 有 著名 的  “水星进动” 和 地球 的 “岁差”  ，     等等   。

现在 对 岁差 的 解释 是 地球 自传轴 倾斜方向 的 进动，   注意 是  倾斜方向，  不是 倾斜角度   。

但 岁差 也可以用  地球 公转轨道 的 进动 来 解释 ，   因为  地球 公转轨道  的 进动  也可以 产生 岁差 的 效果  。

岁差 的 效果 就是 明年 的 今天 面向太阳 的 角度 比 今年 的 今天 面向太阳 的 角度 有一点 偏移    。

 

上面这些 也可以 概括 为 ：       公转轨道 没有 椭圆轨道 ，   椭圆形 的 公转轨道 是 不存在 的 ，   理论上，  公转轨道 可以是 正圆， 或 存在 进动 的 近似 椭圆 环线   。 

 

我们可以在 逻辑 上 来 证明 这一点，   这 算不算  一个 定理   ？

 

我们 把 恒星 和 行星 看作 2 个 质点，  为了便于讨论，  将 恒星 命名 为 质点 A，   行星 命名 为 质点 B，   其实 行星 和 卫星 的 关系 也是 一样   。

设  A  的 质量 远大于 B 的 质量，    B 对 A 的 引力  对 A 的 影响 很微小，  可以 忽略，   即  A 是 “固定” 的，   或者说  A 是 惯性系   。

设  A  的 质量 为 M，  B 的 速度 为 v，      AB 长度 为 r，        由 上面 的 讨论 可知，    只有  v = ( G M / r ) 开方，  且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向）  时，     B 才会 以 r 为 半径 围绕 A 进行 匀速圆周运动，     否则，  B 将会以 r 变大 或 变小 的 两种 可能 继续 飞行    。

设 A 、B 不会相撞  且  B 不会 从 A 逃逸（当 r -> 无穷 时，  v < 0 。  v > 0 表示 远离 A 的 方向， v < 0 表示 靠近 A 的 方向 。 当然， 这里 的 v 是 以 A 为 极点 的 极坐标系 里 的 v，  上文 中 的 v 是 以 A 为 原点 的 直角坐标系 的 v）  ，    则  B 的 飞行 轨迹  总在 尝试 寻找 满足 v = ( G M / r ) 开方，  且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 的 状态，   我们将这个 状态 称为 “匀速圆周状态”   。   若 B 找到 匀速圆周状态，   则 B 会 围绕 A 匀速圆周运动 ，    若 找不到 这个 状态，   则 会 不停 的 改变 相对于 A 的 切向 和 法向 速度  以及   AB 的 距离 r  继续 寻找 匀速圆周状态   。

 

接下来 讨论  寻找 匀速圆周运动 的 运动轨迹   。     假设  v r 满足 匀速圆周状态，   则 B 围绕 A 匀速圆周运动， 运动轨迹 是 一个 以 A 为 圆心 的 正圆，

设 在  (x, y) 处 满足 匀速圆周状态 的 v 为 v圆 ，   则，   对于  (x, y) 处 的 B，   若 v = v圆，   则 作 以 A 为 圆心 的 匀速圆周运动，   运动轨迹 是 以 A 为 圆心 的 正圆，

若 v != v圆，    即 v 与 v圆 有 偏差，    则 运动轨迹 与 v圆  时 的 运动轨迹 有 偏差，   即 与 正圆 有 偏差，    这个 偏差 反映 为  正圆 的 圆周 曲线 被  拉伸 或 压缩  ，       正圆 的 圆周曲线 被 拉伸 或 压缩  即为 椭圆曲线   。

 

好吧，  说到这里，   我也不能从  逻辑 上 证明 公转轨道 没有 椭圆轨道  。 哈哈哈  。

没办法，  还是 只好 用 模拟 的 办法，       我之前 写过 一个 二体模拟程序 和 一个 n 体模拟程序，  见 《我写了一个 二体 模拟程序， 大伙来看看吧》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11581879.html   ，  《我写了一个 n-体 模拟程序， 大伙来看看吧》      https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11626271.html     。

 

我把 二体模拟程序 修改了一下，   改成了  一体模拟程序，   一体 和 二体 的 区别 是 一体 的 两个质点 中 的 一个质点 是 “固定” 的 。

一体问题 又称为 理想公转问题  。

 

一体模拟程序 的 项目地址 是 ：              https://github.com/kelin-xycs/One-Body    ， 进入 项目页面 后， 点击 右边 的 绿色按钮 “Clone or download”  就可以下载 项目代码 了，     项目 只有一个   One-Body.html  文件， 用 浏览器 打开 就可以 运行  。

 

可以 设置 不同 的 参数 来 演示，    可以看到，    椭圆轨道 还真的 存在，  而且 是 普遍存在  。  可以说，  除了 碰撞 和 逃逸，   一体问题 存在 周期性 的 通解，  通解 是 椭圆轨道，   正圆 算是 椭圆 的 特例  。   具体的， 可以说，  除了 碰撞 和 逃逸，     一体 里 的 质点 B 以 任意 的 初始位置 和 初始速度 开始运动， 运动轨迹 总是 一个 椭圆，   匀速圆周运动 的 正圆轨道 算是 椭圆 的 特例  。

 

如果 质点 A 不是 “固定” 的，  就变成了  二体问题，   二体 中，   若以  A 为 参照系， B 的 轨迹 仍然 是 椭圆，  但 相对于 第三方 参照系，  B 的 轨迹 不是 椭圆， 而是 存在 进动 的 类椭圆 环线   。 

所以，   对于 天体 的 公转，    以 水星进动 为例，    如果 不考虑 其它 天体 对 太阳 和 水星 的 引力作用，  或者说，  在 一个 理想场景 中，  只有 太阳 和 水星 2 个 物体，   则  如果 以 太阳 为 参照系，    水星 的 公转轨道 没有 进动，   但 相对于 第三方 参照系，    水星 的 公转轨道 存在 进动   。

 

如果 从 数学 上 来 证明，    以 质点  A  为 坐标系 原点，   可以给出一个  方程组 ：

 

d²x / dt²  =   - G M m / (x² + y²) / m  *  x / (x² + y²)开方

d²y / dt²  =   - G M m / (x² + y²) / m  *  y / (x² + y²)开方

 

化简  得：

 

d²x / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  x

d²y / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  y

 

这就是 一体问题 的 微分方程组，   解这个 微分方程组 估计 有 难度   。

当然，  也可以对 这个 微分方程组 定性分析   。

 

我们可以来 研究 一体问题  里 的 一个 特例，  这跟 逃逸 有关 。     这个 特例 就是 B 的 初速度 是 相对于 A 的 法线 方向，  即 AB 方向，  也可以说  B 相对于 A 没有 切线方向 的 速度分量   。            具体的说， 就是 B 的 初速度 方向 在 AB 直线 上   。

这个 特例 我们 称之为   直线运动特例，  简称 直线特例   。

在 直线特例 中，   设 B 的 初速度 为  V₀  ，    如果 V₀  方向 是 靠近 A 的 方向，   则 结果 就是 A B 碰撞，    如果 V₀ 方向 是 远离 A 的 方向 ，   则 可能 逃逸，  如果 不逃逸，  就是 向 远离 A 的 方向 直线运动 一段时间 后，  速度 被 引力 减速 为 0，   然后 又 逐渐 被 引力 加速，   向着 A 加速运动，  最终 和 A 碰撞  。

如果 不考虑 碰撞，  即 把  A B 看成是 理想 的 点，  可以 “重叠”，   也可以说 把 A B 看成 几何 上 的 点，   则 B 向 A 加速运动 到达 A 时，  会 经过 A ， 继续 前进 远离 A，   而 经过 A 之后，   引力 方向 和 速度 方向 相反，  引力 开始 对 速度 减速，   当 速度 减 到 0 后，   引力 会 对 B 加速，   使 B 向 A 加速运动，   这就形成了 一个 周期性 的 运动，  类似 简谐运动 。

但 其实 这样说也存在问题，  几何 上的 2 个 点 重叠 的 时候， 距离 为 0，  引力 无穷大，   在 B 靠近 A 时，  无穷大 的 引力 可以 把 B 的 速度 加速到 无穷大， 在 B 远离 A 时，  无穷大 的 引力 可以 把 速度 减速 到 0，   这里说的   B 靠近 A 和  B 远离 A  是指 趋势，  因为 当 A B 重叠 时，  引力方向 变成了一个 点， 已经 不存在 了 。   所以 需要 从 B 无限接近 A 的 角度 来看，  当 A B 间 距离 无限小 时，   存在 B 靠近 A 或 B 远离 A 。  这是一个 极限问题  。

实际中 用 计算机 程序 模拟 B 的 运动 时，  会用 一段 具体 的 时间 来 模拟 微分时间 dt，     这样的话，   就 避免 了 理论 上 A B 距离 无限小 和 A B 重叠 的 问题，  这样 可以 模拟 出  周期性 运动 的 效果， 类似 简谐运动   。   还要 加上一点，  如果 A B 刚好 重叠，  则 不作处理，    不加速 B ， 也不减速 B 。

 

直线特例 用 一维坐标系 就可以 研究 。       设 A 为 坐标系 原点，    AB 为 x 轴，   AB 方向 为 x 轴 正方向 （远离 A 的 方向 是 正方向） 。

直线特例 的 微分方程 是 ：

 

d²x / dt²  =   - G M m / x² / m

 

化简  得 ：

d²x / dt²  =   - G M / x² 

 

严格 的 说，  这是  B  在 正半轴 的 运动方程，   在 负半轴 的 运动方程 要 把  等号右边 的 负号 去掉，  即  d²x / dt²  =  GM / x²    。

但是 我们 研究 正半轴 的 情形 就可以    。

 

解这个 微分方程 ：

 

两边同时乘以    2 * dx / dt ，            2 * dx / dt * d²x / dt²  =  - 2 * dx / dt * GM / x²  

d (dx / dt)² / dt  =  - 2 G M * dx / dt / x²   

 

两边对 dt 积分  ，            (dx / dt)²  =  ∫  - 2 G M / x²  dx     

(dx / dt)²  =  - 2 G M   ∫  1 / x²  dx

(dx / dt)²  =  - 2 G M  ( -1 / x + C )

(dx / dt)²  =  2 G M * 1 / x  -  2 G M * C

 

令 dx / dt = V₀ ，  x = X₀ ，    则    C = 1 / X₀ - V₀² / 2 G M    ，    V₀ 是 B 的 初始速度 ，   X₀ 是 B 的 初始位置  。

代入 C ，        

(dx / dt)²  =  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²                       (1) 式

dx / dt  =  (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方            (2) 式

1 / (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方  *  dx   =   dt  

两边积分 ，

∫  1 / (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方  *  dx   =   ∫   dt  

∫  1 / (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方  *  dx   =   t

 

只要 把   ∫  1 / (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方  *  dx   这个 积分 求出来，   就可以 解 这个 方程 了   。

 

令    2 G M / X₀  -  V₀²    =    a    ，       2 G M   =   b    ，

则    ∫  1 / (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方  *  dx   =    ∫  1 / (  b / x  -  a  ) 开方 * dx   ，   G 、M 、a 、b   为 常数  。

 

把    ∫  1 / (  b / x  -  a  ) 开方 * dx   求出来 就可以 ，     G 、M 、a 、b   为 常数  。

 

但    ∫  1 / (  b / x  -  a  ) 开方 * dx       这个 积分  积了两天 没积出来，   不积了 。  大家有兴趣可以试试  。

在 网上 搜索 看到一篇  《求根号下（1-x/x）的不定积分》   https://www.zybang.com/question/4104f5613cf5dd0cb4e817a8ab8a6670.html  ，  可以参考  。

 

上面 这个 微分方程 的 解法 参考了 简谐运动 的 微分方程 的 解法   。

 

虽然 没有 完全 解出 这个 微分方程 ，       但根据  (2) 式   dx / dt  =  (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方    可以 得出 逃逸 条件 ，

设   当 B 的 速度 v -> 0 时，   B 的 位置 x -> 无穷 ，

则    dx / dt = v -> 0 ，    2 G M * 1 / x -> 0   ，     代入 (2) 式 得 ：

0  =  -  2 G M / X₀  +  V₀²

V₀²  -  2 G M / X₀  =  0            (3) 式

 

根据  (3) 式    V₀²  -  2 G M / X₀  =  0    可知，    当  V₀  =  ( 2 G M / X₀ ) 开方  时，  B 将 飞向 无限远处，  当 B 飞向 无限远处 时， 速度 趋于 0  。

当   V₀  >  ( 2 G M / X₀ ) 开方    时 ，       B 将 从 A 逃逸  。

 

这个 推论 可以 称为  直线特例逃逸条件   。

 

上面 从 (1) 式 到 (2) 式 的 时候，  (1) 式 等号右边 开平方 只 取了 正根，  没有 取 负根，  如果取 负根， 则 有 

 

dx / dt  =  -  (  2 G M * 1 / x  -  2 G M / X₀  +  V₀²  ) 开方            (4) 式

 

(2) 式 和 (4) 式 的 区别 是 (4) 式 的 等号 右边 多了一个 负号   。

 

我想 (4) 式 的 意义， 或者说 负根 的 意义 是 B 远离 A 的 速度 衰减 为 0 之后，  在 引力 作用 下 向 A 加速运动 的 这一段 过程 。  dx / dt = v = 负根，  这表示 速度 v 是 负数，   速度 是 负数 表示 速度方向 是 正半轴 上 靠近 A 的 方向   。

所以，  在 正半轴 上，  B 远离 A 的 阶段 用 (2) 式 的 积分 来 描述，   B 靠近 A 的 阶段 用 (4) 式 的 积分 来 描述，    是不是这样  ？

 

2019 年 12 月 5 日  加 ：

上文的 积分 ∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 已经 由 反相吧 网友 fz8zi8 求出， 见 我在 反相吧 里 发的 帖 《∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 这个 积分 怎么求 ？》 http://tieba.baidu.com/p/6371150964  的 2 楼 3 楼 ，

 

∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx = 1/2*(-(-b+a*x)/x)^(1/2)*x*(-2*a^(1/2)*(-(-b+a*x)*x)^(1/2)+b*atan(1/2/a^(1/2)*(2*a*x-b)/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)))/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)/a^(3/2) ， 省略了 积分常数 C 。

根据 这个 积分 可以 求出 直线特例 的 微分方程 的 解， 这个 解 是 质点 B 的 位置 x 和 时间 t 的 函数， 记为 x = f(t) ， 根据这个 解 可以 求出 质点 B 在 时刻 t 的 位置 x 。

 

对 x = f(t) 求导， dx / dt = f ′ (t) 就是 质点 B 在 时刻 t 的 速度 v 。
也可以 根据 x = f(t) 求出 时刻 t 的 x， 把 x 代入 (2) 式 求出 dx / dt ，即 速度 v 。

 

 

 

 

本文 已发到 反相吧   《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》       https://tieba.baidu.com/p/6348165470      。

 

 

9 楼

回复  8 楼  @黎合胜   @别问是劫是缘  ，      太阳应作为一个球体来计算对水星的引力  的 出处 是    @刘岳泉   《【原创】八大行星的牛顿引力摄动轨道近日点进动的精确计算结果》  https://tieba.baidu.com/p/3901683485   ，      我在    《来个 硬核 点的， 谁把经典物理计算水星进动的计算过程贴出来？》     https://tieba.baidu.com/p/6539561735     12  楼  说到过这事    。

 

球体 和 质点 不等价 见      《在引力问题中， 实心圆 是否可以认为是一个 质点》     https://tieba.baidu.com/p/6402553849   ，    在  《来个 硬核 点的， 谁把经典物理计算水星进动的计算过程贴出来？》     12  楼 也 说到 这篇    。

 

@黎耀天   @王歳差    @莉莉艾3       

 

 

 

 

 

球体 和 质点 之间 存在 万有引力，   它们 的 运动规律 称为   球体 和 质点 的 二体问题，   如果 球体 和 质点 的 其中一个 固定，  则 是 球体 和 质点 的 一体问题   。

 

若  球体 固定，   质点运动，    则 质点 的 运动轨迹 应该是一个 类似椭圆 的 环线，    环线 相比 椭圆 的 偏离度，    大概 就是 进动的程度（角度 ？）  。

 

要 怎么 得到 球体 和 质点 的 一体问题  的  解  ？         数学家 和 物理学家 们  快 加油干 吧   。     （滑稽）

 

还可以看看     @思维机器     《黎合胜同好的一个问题转发》         https://tieba.baidu.com/p/8279454983         。

 

@黎合胜   @黎耀天   @多项式之父    @莉莉艾3