用 简化模型 对 曲线小球 问题 定性分析 和 求解 近似解

用 简化模型 和 线性样本 方法  对 曲线小球 问题 定性分析 和 求解 近似解    。

 

写 这篇文章 的 直接原因 是 反相吧 吧主  incinc   发了一个 帖 《同样的始能，曲线的反而跑得比直线的快，为什么？》  http://tieba.baidu.com/p/6324912171  ，  因为 这个 帖 ，   网友 雾里民工 发了一个 帖 《百度科普【摆线】》  http://tieba.baidu.com/p/6328415707       ，

 

这 2 个 帖 是 写 这篇 文章 的 直接原因  。

 

其实 我 在 之前 的 文章 中 提出 过 用 简化模型 和 线性样本 方法  来 计算 的 方法 理念，  比如 把 三维模型 简化 为 若干个 二维特例 ， 把 空间微积分 简化 为 二维古典微积分   。

 

我在 《同样的始能，曲线的反而跑得比直线的快，为什么？》 帖 的  12 楼  提出了 用 简化模型 估算 曲线小球 问题 的 方法，   如下 。  下面 是 我在 12 楼 的 回复 和 网友 回复讨论 ，  我在 帖 里 是  K歌之王  。

 

12 楼

K歌之王 ：

 

因为 曲线 那个 被 充分 加速 了 。   

 

可以用一个 简化模型 类比计算 一下， 把 直线 等效 为一个 梯形槽， 曲线 这个 等效 为 一个 三角形槽， 三角形 的 高 大于 梯形 的 高， 即 三角形槽 更深， 可以知道 三角形槽 会 让 小球 加速 到 更快 的 速度，

 

我们 可以让 三角形 槽 深一点， 使得 路程 大于 梯形槽 的 路程，这样 和 视频中 的 直线 曲线 的 情形 相似，

 

可以 列方程 解出 小球 通过 梯形槽 和 三角形槽 的 时间， 应该就知道 2 者 的 时间 差距 了 。

 

 

 

 

incinc: 注意小球在返程明显变快了。

黎耀天: 不对。完

sxslwwd: 不用这么麻烦，沿坡面滚下，水平速度增加，整个过程曲面小球水平平均速率增大，over

雾里民工: 【同样的势能】我怎么看不出来？不是我瞎就是吧主盲

K歌之王: 回复 incinc :嗯， 不过 仔细看 小球 达到 曲线 的 最高点 时候 的 速度 似乎 一直 都 一样（我觉得 应该一样），就是 说 在 小球 达到 曲线 最高点 的 时候 的 速度 与 直线 的 小球 的 速度 的 速度差 应该 一直没有变， 只是每次 经过 曲线凹槽 时， 曲线 小球 都会 比 直线 小球 快一点

K歌之王: 回复 incinc :若干次 之后 就 累计 了 可观 的 时间差（路程差），所以 最后 返回 的 时候 有了 明显 的 时间差（路程差）， 看起来 会 让人 感觉 曲线 的 小球 快 了 不少 。

K歌之王: 银河科学院 在 另外一个 同名 帖 里 说 这是一个 数学问题， 就是如何才能做到最快。 就是这样 。 强烈推荐 猴哥 happyird 来做 本层 的 题， 做出来 就 清楚 了 。  

 

 

以上 是 帖 里 的 内容  。

 

三角形槽 和 梯形槽   是  2 个 样本，  通过  这 2 个 样本 可以知道 小球 从 这一端 自由滚动 到 另一端 存在 一个 最快路径，  也可以叫做  “最速路径” 、“最速解” ，   这是 定性分析 。

还可以再 增加 一些 样本，  比如 更深更浅 的 三角形槽 梯形槽 多边形槽 ，   通过 这些 样本 ，  可以 知道 随着 槽 的 形状变化，  小球 滚动 时间 的 变化趋势， 也可以说  路径 与 时间 的 关系趋势，   这是   定性分析 。

可以 通过 样本 确定 最快路径 的 范围，  并 缩小 范围，     以此 求得 最快路径 的 近似解，  或者说 最速解  的 近似解   。

 

最速解 包含 2 个 部分 ：    最快路径  和  小球 滚过 最快路径 的 时间  。

所以，   最速解 的 近似解 也 包含 2 个 部分 ：         近似最快路径 ，        小球 滚过 近似最快路径 的 时间  。