一维 弹簧振子 二体 问题

我在 反相吧 里 发了一个 帖 《我来开一个课题，三江老师对于解微分方程（数学分析）有没研究？》  http://tieba.baidu.com/p/6285253972  ，

本文 是 在 这个 帖 里的 16 楼 的 回复 。

 

 

再来看一个问题， 一维 弹簧振子 二体 问题，

 

在一个 弹簧 的 两端 分别 放上 2 个 质点， 以 某 初速度 自由运动， 质点 初速度 方向 和 弹簧 在一条 直线 上， 这就是 一维 弹簧振子 二体 。

 

通常说的 弹簧振子 只有 一个 质点， 一端 固定， 另一端 是 质点， 弹簧振子 的 运动规律 是 简谐运动， 质点位移 x 和 时间 t 可以写作如下 微分方程：

 

d²x / dt² = - (k / m) * x 

 

这个 微分方程 的 解 是 x = A sin( ωt + φ ) ， 就是说 质点位移 x 和 时间 t 的 关系 是 一个 正弦函数 。

 

当 弹簧振子 变成 二体 的 时候， 可以写成 这样一个 微分方程组：

 

d²x1 / dt² = (k / m1) * ( x2 - x1 - c ) 

d²x2 / dt² = - (k / m2) * ( x2 - x1 - c ) 

 

x1 是 质点 1 的 坐标， x2 是 质点 2 的 坐标， x 轴 正方向 是 向右， 质点 1 在 左边， 质点 2 在 右边， m1 是 质点 1 的 质量， m2 是 质点 2 的 质量， k 是 弹簧 的 弹性系数， c 是 弹簧 未拉伸压缩 时的 长度 。

m1, m2, k, c 是 常量， x1, x2, t 是变量 。

 

这个 微分方程组 是否 可解 ？ 应该怎样解 ？

 

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