数理哲学

数理哲学 是 我在 《关于 1 和 0.999999…… （二）》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11289330.html   里 提出 的 一个 词，  我也不知道 怎么 会 想出 这么一个 词 。

 

数理哲学  就是 跳出 数字 算式 的 繁琐 细节，  站在 一个  更高 的 层次 和 维度 来 看待 数学，  这个 更高 的 维度 就是 直观 和 逻辑思辨 ，   数字 算式 是 一维 的，  直观 是 三维 的  。

 

我前段时间 看过 一个 网友 对 化圆为方 的 证明，   是 反证法， 用到了 超越数  π 、e ，   其实 不用 这么 麻烦， 我们 可以 这样 来 证明 ：

 

在 《关于 1 和 0.999999…… （二）》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11289330.html     中 提到  1 / 3 （1 除以 3） 是 不能 求得 准确值 的，

同样的道理，   圆周率  π   是 一个 无理数，   是一个 无限不循环小数，   也不能 求得 准确值，

化圆为方 有 2 种 方式：

1    将 圆周长 变为 长度相等 的 一条 直线线段，  将 直线线段 4 等分，   或者 将 圆周长 4 等分 为 圆弧，  再 将 圆弧 变为 长度相等 的 直线线段，   这 2 种 做法 是 等价 的 。

2    根据 半径 求得 长度 等于 圆周长 的 直线线段，  将 直线线段 4 等分，   或者 根据 半径 求得 长度 是 圆周长 1/4 的 直线线段，    这 2 种 做法 是 等价 的 。

 

尺规作图  只能 丈量  直线线段 的 长度，  这 包含 2 个 意思 ：

1     从 直线线段 上 测量 长度，

2     输出 长度 到 直线

 

所以，   尺规作图    化圆为方   只能  选择 方式 2，   根据 半径 求得 长度 等于 圆周长 的 直线线段，  将 直线线段 4 等分   。

 

半径 是 直线线段，   要求取 的 目标 是 长度 等于 圆周长 的 直线线段，   也 是 直线线段，

设 半径 为  r ，   长度 等于 圆周长 的 直线线段 为  k，

 

现在 是 要 根据 直线线段 r 的 长度 求取 直线线段 k 的 长度  。

r 和 k 之间的 关系 是：         k = 2  *  π  *   r  ，

 

因为  r  、k  都是 直线线段，   所以，  r 、k   都是  线性  的，

r 和 k 的 关系式          k = 2  *  π  *   r       是一个 正比例函数 ，   所以   r-k 关系式  也是 线性 的，

 

因为  π  是 无理数， 是 无限不循环小数 ，     不能 求得 准确值，

所以      k = 2  *  π  *   r      不可能 求得    k    的 准确值  。

 

所以 尺规作图   不能  化圆为方  。            证明完成  。

 

可以看出来，   三等分 线段 也是 不能用 尺规作图 实现的，   奇数等分 线段 都不能用 尺规作图 实现，   对一个 正整数 n 分解质因数，   如果 所有 的 质因数 都是 2， 则可以对 一条线段 用 尺规作图 n 等分，    否则 不能对 一条线段 用 尺规作图 n 等分  。

 

我们 还 可以 来 试试 证明 三等分角 不能用 尺规作图 实现 ：

 

尺规作图 可以  二等分 一条 线段，   以 r 为 半径，  在 线段 的 两个 端点 分别 作 圆弧 相交， 从 圆弧 交点 作 垂线 与 线段 相交，   垂线 与 线段 的 交点 就是 线段 中点 。

 

可以看到，   尺规作图 二等分 线段 的 技能  是 由   对称性 提供 的，     圆规 、直尺   都  提供 对称性，  在 上面 这个 例子 里，   从 两个 端点 以 相同 的 半径 作 圆弧 相交 提供了 对称性，   垂线 也是 对称性，  因为 垂线 两边 的 角 都是 直角，   进一步，   作 两条直线 垂直相交  可以 得到 一个 “十” 字型  的 对称结构，  又或者  画一个圆，    过圆心 任意 作一条 直线 可将 圆 分为 对称 的 两个 半圆，   又或者  过圆心   任意 作 两条 正交 的 直线 可以把 圆 分为 对称 的 4 个 扇形，  这些 都是 圆规 直尺  提供 的 对称性  。

 

圆规 直尺 提供的 基本功能 是   圆 、圆弧 、平行线 、垂线 、直线  。   和 代数式 的 推导演算 类似，  尺规作图 也有 推导演算 。  尺规作图 的 推导演算 就是 解决问题 的 方法 步骤  。

尺规作图 的 推导演算 的 技能 来源于 对称性  。

 

而  三等分 是 违反 对称性 的 ，     所以 尺规作图 不能 实现 三等分 线段， 也不能 实现 三等分角 。

 

 

 

我们知道，   尺规作图 可以 二等分角，   进而，  可以 2 的 n 次方 等分 角，   n 为 正整数  。

 

二等分角 是 由  对称性 实现 的，      对称性 由 圆规 提供 。

 

圆规 提供 对称性，  直尺 提供 平行 、垂直 、直线 。

 

未完待续  。