欧拉函数
欧拉函数的定义
设1~N个数,其中与N互质的数的个数被称为欧拉函数,记为Φ(n).
在基本算数定理中,N=p1 c1p2 c2pm cm(不要问我为什么,我也不知道23333)
Φ(n)=N*p1-1/p1*p2-1/p2*.....*pm-1/pm(其中p为1~N中的质数)
所以根据欧拉函数的计算式,我们如何计算实现欧拉函数呢,这就可以在质因数分解是顺便求出来
代码如下
int phi(int n) { int ans=n; for(int i=1;i<=sqrt(n);i++) { if(n%i==0) { ans=ans*(i-1)/i; while(n%i==0) n=n/i; } if(n>1) ans=ans*(i-1)/i; return ans; } }
性质
1.任意n>1,1~n中与n互质的数的和为n*Φ(n)/2
2.若a与b互质,则Φ(a*b)=Φ(a)*Φ(b)
证明
因为gcd(n,x)=gcd(n,n-x),所以与n不互质的数是成对出现的,平均值为n/2,所以互质的数也是n/2(证1)
积性函数
当a,b互质时,有f(a*b)=f(a)*f(b),则称函数f为积性函数
欧拉推论
如果正整数a,n互质,则对于任意整数b,有a的b次方等于a的b次方modΦ(n),相当于a的b次方对n取模(应该是这样子的)
那么就可以转化成底数对p(质数取模),指数对Φ(p)取模