BZOJ 1009 HNOI2008 GT考试 KMP+dp+矩阵快速幂

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1009

 

题意概述：

　　求有多少种方案构造一个长度为N的数字串，使得其中不包含给出的长度为M的数字串（数字串可以包含前导0），答案mod K。

　　N<=10^9,M<=20,K<=1000.

 

分析：

　　首先看到这个东西就想到了字符串+dp的套路......注意到N非常**大（滑稽）可能可以用矩阵快速幂优化一下。

　　那么构造一个线性的dp方程。

　　因为只有一个串，那么考虑用KMP来辅助dp。

　　令f(i,j)表示已经完成构造第i个字符，当前构造字符串和给出的串最长公共后缀前缀长度为j的方案数。

　　先考虑j!=0，有一种转移方案是f(i-1,j-1)，另外有转移方案为f(i-1,k)，满足S[j-1]是k的fail路径上第一个等于s[j-1]的数字。（因为公共前后缀长度为j的情况下当前字符是唯一确定的，所以所有的转移前面的系数为1）

　　然后考虑j=0，有一种转移是f(i-1,0)*9，另外有转移f(i-1,k)，前面的系数为k到0的fail路径上没有出现过的数字的数量。

　　请仔细体会这奥妙无穷的dp......（我要不要这么蠢啊...都不仔细想想...一遍就构造好的话哪里来的这么多事情）

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
using namespace std;
const int maxm=25;

int N,M,K,f[maxm];
char S[maxm];
struct matrix{
    static const int maxn=22;
    int a[maxn][maxn],r,c;
    matrix(){ memset(a,0,sizeof(a)); r=c=0; }
    void init(int len){
        r=c=len;
        for(int i=0;i<r;i++) a[i][i]=1;
    }
    friend matrix operator * (matrix x,matrix y){
        matrix z;
        z.r=x.r,z.c=y.c;
        for(int i=0;i<z.r;i++)
        for(int j=0;j<z.c;j++)
        for(int k=0;k<x.c;k++)
            z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%K;
        return z;
    }
    matrix qkpow(int y){
        matrix re,t;
        re.init(this->r); t=*this;
        for(int i=0;(1<<i)<=y;i++){
            if((1<<i)&y) re=re*t;
            t=t*t;
        }
        return re;
    }
}A,B;

void getfail(char *t)
{
    f[0]=f[1]=0;
    int n=strlen(t);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int j=f[i];
        while(j&&t[i]!=t[j]) j=f[j];
        f[i+1]=t[i]==t[j]?j+1:0;
    }
}
void work()
{
    scanf("%d%d%d%s",&N,&M,&K,&S);
    getfail(S);
    A.r=A.c=M;
    A.a[0][0]=9;
    bool vis[10];
    for(int i=1;i<M;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int p=i;
        while(p) vis[S[p]-'0']=1,p=f[p];
        vis[S[0]-'0']=1;
        for(int k=0;k<10;k++)
            if(!vis[k]) A.a[i][0]++;
    }
    for(int j=1;j<M;j++){
        A.a[j-1][j]=1;
        for(int i=j;i<M;i++){
            int p=i;
            while(p>j-1){
                if(S[p]==S[j-1]) break;
                p=f[p];
            }
            if(p==j-1) A.a[i][j]=1;
        }
    }
    B.r=1,B.c=M;
    B.a[0][0]=9,B.a[0][1]=1;
    B=B*A.qkpow(N-1);
    int ans=0;
    for(int j=0;j<M;j++) ans=(ans+B.a[0][j])%K;
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    work();
    return 0;
}