有上下界的网络流小结

令每一条边流量的上下界分别为up,low。

 

无源汇上下界可行流：

假设所有的边流量全部都为low，发现这样的一个网络并不符合流量平衡，其中有很多点的出流和入流不相等。于是我们的任务转化为在不合法的残量网络中凭空添加流量，使得所有的点满足流量平衡。

可以发现对于一个凭空出现的流量，其经过的路径上除了起点的出流增加1，终点的入流增加1以外没有点的流量平衡发生改变，因为它流进来又流走了。

因此，我们新建源点S汇点T（下面的S,T都是这个意义）。S向所有需要增加入流的点连边，容量为其增加入流的需要大小；所有需要增加出流的点向T连边，容量为其增加出流的需要大小；因为我们需要在不合法的残量网络上构造“凭空出现的流量”，保留原图的结构，每条边的容量为up-low。

最后，如果所有新加的边满流（等价于与S或者与T向连的边满流），那么就存在可行流。

 

下面假定原图中原点为1，汇点为N。

 

有源汇上下界可行流：

我们可以再连一条T->S容量为inf的边，然后就可以把这个图当成无源无汇的可行流来做了。

因为新建的网络中的原网络部分是流量平衡的（我们通过加边把它补对了），因此此时t->s的边的流量就是一个可行流。

 

有源汇上下界最大流：

先跑可行流，得到一个可行流A，把T->S的边删掉，然后接着再残量网络上跑1->N的最大流得到B，A+B为答案（很好理解，得到一个可行流的基础上继续增广即可，新的网络中跑最大流时一定满足下界的限制）。

 

有源汇上下界最小流：

还是先跑可行流，得到一个可行流A，把T->S的边删掉，然后在残量网络上跑N->1的最大流得到B，A-B为答案（可行流上尽量多退流）。