【算法Part2】回溯算法

一.概念

  回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 “回溯” 返回，尝试别的路径。

  回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为 “回溯点”。

  许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

二.基本思想

  回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

• 算法在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
• 回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
• 回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。(摘自回溯算法）

三.解题步骤

1. 针对所给问题，确定问题的解空间：
   首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解
2. 确定结点的扩展搜索规则
3. 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

四.算法框架

bool finished = FALSE; /* 是否获得全部解? */
backtrack(int a[], int k, data input)
{
    int c[MAXCANDIDATES]; /*这次搜索的候选 */
    int ncandidates; /* 候选数目 */
    int i; /* counter */
    if (is_a_solution(a,k,input))
    process_solution(a,k,input);
    else {
        k = k+1;
        construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates);
        for (i=0; i<ncandidates; i++) {
            a[k] = c[i];
            make_move(a,k,input);
            backtrack(a,k,input);
            unmake_move(a,k,input);
            if (finished) return; /* 如果符合终止条件就提前退出 */
        }
    }
}

变量解释：

• a[]表示当前获得的部分解；
• k表示搜索深度；
• input表示用于传递的更多的参数；
• is_a_solution(a,k,input)判断当前的部分解向量a[1...k]是否是一个符合条件的解
• construct_candidates(a,k,input,c,ncandidates)根据目前状态，构造这一步可能的选择，存入c[]数组，其长度存入ncandidates
• process_solution(a,k,input)对于符合条件的解进行处理，通常是输出、计数等
• make_move(a,k,input)和unmake_move(a,k,input)，前者将采取的选择更新到原始数据结构上，后者把这一行为撤销。

五.题型解答

1. 求一个集合的所有子集(leetcode.78)

//给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> temp;
    
    void backtrace(vector<int>& nums,int start){
        res.push_back(temp);
        for(int i = start;i < nums.size();++i){
            temp.push_back(nums[i]);
            backtrace(nums,i+1);
            temp.pop_back();
        }
    }
    
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        if(!nums.size())
            return res;
        backtrace(nums,0);
        return res;
    }
};

2.电话号码的字母组合(leetcode.17)

/*
给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
*/
class Solution {
public:
    map<char, string> mp = { { '2', "abc" }, { '3', "def" }, { '4', "ghi" }, { '5', "jkl" },
                             { '6', "mno" }, { '7', "pqrs" }, { '8', "tuv" }, { '9', "wxyz" } };
    vector<string> res;
    string temp;

    void backtrace(string digits, int start){
        if (!digits.size())
            res.push_back(temp);
        else{
            char num = digits[0];
            string letter = mp[num];
            for (int i = 0; i<letter.size(); i++){
                temp.push_back(letter[i]);
                backtrace(digits.substr(1), i + 1);
                temp.pop_back();
            }
        }
    }

    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if (!digits.size())
            return res;
        backtrace(digits, 0);
        return res;
    }
};