【算法设计】（综合）博弈树的了解与创建

对博弈树的理解 简单而言就是对每一步可能的结果进行分析 之后对当前步骤的下一步的所有可能结果进行分析而创建的树

专业表示极大极小博弈树：极大极小博弈树是因描绘这种结构的一种简单算法而得名。我们来对ttt游戏的结果分配一下分值。如果叉（X）获胜，则分值为1。如果圈（O）获胜，则分值为-1。现在，叉将试图获得最大化的分值，而圈将试图最小化分值。于是，第一位研究此问题的研究者决定把游戏者叉命名为max，并且把游戏者圈命名为min。因此，这个完整的数据结构就被命名为极大（Max）极小（Min）博弈树。

例如：

对于博弈树的创立过程需要对于任意种可能结果设定权重：例如黑白棋中设立以下几种权重

连三 100分

双连二 50分

平局 0分

不分胜负 1

其中如果评分时不分胜负则还会继续搜索，直到找到其他三种状态、

利用博弈树时，由于结果可能很多 所以需要进行必要剪枝，算法思路如下：

1. min电脑AI下棋时，如果考虑步数为0，则代表直接返回当前棋盘估值w（值越大代表对max越有优势，越小则代表对min越有优势，w=maxW-minW）。
   

2. 如果考虑步数为N，先获取min电脑可以下棋的位置steps。

3. 对于可以下棋的一步step，电脑AI下棋到step的第row行，第column列。

4. 如果这时候min电脑已经赢了，则把棋盘回退一步，返回棋盘估值和下棋位置，不用再考虑其他走法了。

5. 否则，min需要在每一种走法里面，选择一种走法，令max人类走N-1步之后，自己的优势保持最大（即w值最小）。

6. 什么是alpha-beta剪枝呢？就是如果max人类当前一种走法1至少可以获取alpha优势，而另一种走法2，min电脑的一步棋则可能让人类获取比alpha更小的优势，那么max人类肯定不会选择走法2，所以计算在计算min电脑的走法时，min电脑的其他走法就不用再计算了。

7. 最后min电脑经过steps.length种走法对比之后，选择w值最小的一种走法，把棋盘回退一步，并返回棋盘估值和下棋位置。

8. max走法类似，人类会选择w值最大的走法下棋，所以max函数和min函数分别代表人和AI下棋，互相递归调用，直到递归到步数为0时返回N步之后的估值。

如果一棵树博弈树的每个内部结点的第一个子结点都返回最优的解,那么称这棵树是良序的.对一个良序的博弈树,Alpha-Beta算法会修剪一些无必要搜索的子树,修剪之后的树就称为最小树（minimal tree,或者critical tree）.当博弈树是良序的时候,Alpha-Beta算法所需要搜索子树都包含在这个最小树中.按照上述结点的分类方法,最小树中的所有结点的类型都是已定的,因为那些类型为undefined的结点都会被剪枝.

均匀博弈树及其最小树

如果一个博弈树的所有内部结点（interior node）具有相同的分支因子,且所有的根结点到叶结点的深度相同,那么该搜索树就是一个均匀的（uniform）.对于一个深度为d的均匀良序博弈树的的最小树,从根结点到叶结点,经历了d个边.设第i个边是其父结点的第个分支.将所有按照“.”连接起来形成一个串:.设为该串中第一个大于1的值.如果不存在,即所有的都为1,则该叶结点为PV结点.如果存在,那么对应边的子结点一定为CUT结点.这时如果d - j是偶数,那么该串对应的叶结点为CUT结点,否则,如果d - j是奇数,该叶结点为ALL结点.

对一个CUT类型的叶结点,它对应的串存在着性质:对所有i,如果d - j是偶数,则为1.这种串（除了全1的串）和CUT叶结点一一对应.这种串的个数为,故此CUT叶结点的个数也为.

同样,对一个ALL类型的叶结点,它对应的串存在着性质:对所有i,如果d - j是奇数,那么为1.这样的串（除了全1的串）和ALL叶结点一一对应.这样的串的个数为,所以ALL叶结点的个数为.再加上PV叶结点,一个最小树包含的叶结点个数为,这也是在均匀博弈树中Alpha-Beta算法搜需要搜索的最少叶结点个数.

参考博弈树建立代码。

int gameState(char _board[9])
{
    int state;
    static int table[][3] = 
    {
        {0, 1, 2},
         {3, 4, 5},
          {6, 7, 8},
         {0, 3, 6},
          {1, 4, 7},
          {2, 5, 8},
          {0, 4, 8},
          {2, 4, 6},
      };
    char chess = _board[0];
     for (char i = 1; i < 9; ++i)
      {
         chess &= _board[i];
     }
      bool isFull = 0 != chess;
     bool isFind = false;
    for (int i = 0; i < sizeof(table) / sizeof(int[3]); ++i)
    {
        chess = _board[table[i][0]];
          int j;
        for (j = 1; j < 3; ++j)
            if (_board[table[i][j]] != chess)
                break;
            if (chess != empty && j == 3)
            {
                isFind = true;        
                break;
            }
        }
        if (isFind)
            //got win or lose
            state = chess == o ? WIN : LOSE;
        else
        {
            if (isFull)
                //all position has been set without win or lose
                return DRAW;
            else
            {
                //finds[0] -> 'o', finds[1] -> 'x'
                int finds[2] = {0, };
                for (int i = 0; i < sizeof(table) / sizeof(int[3]); ++i)
                {
                    bool findEmpty = false;
                    chess = 0xff;
                    int j;
                    for (j = 0; j < 3; ++j)
                        if (_board[table[i][j]] == empty && !findEmpty)
                            findEmpty = true;
                        else
                         chess &= _board[table[i][j]];
                if ((chess == o || chess == x) && findEmpty)
                {
                    isFind = true;        
                    if (o == chess)
                         ++finds[0];
                     else
                        ++finds[1];
                 }
            }
             if (finds[0] > 1 && finds[1] < 1)
                 //2 'o' has been founded twice in row, column or diagonal direction
                 state = -(INFINITY / 2) * finds[0];
             else if (finds[1] > 1 && finds[0] < 1)
                 //2 'x' has been founded twice in row, column or diagonal direction
                 state = INFINITY / 2 * finds[1];
             else
                 //need to search more.
                 state = INPROGRESS;
         }
    }
     return state;
 }