映射

映射

2.5 映射的合成

2.6 置换

1. 概念

   是一种特殊的映射

2. 置换的乘积

3. 循环置换

   定义1： 设$$\sigma \in {S_n}$$ ，如果$${i_1}\sigma = {i_2},{i_2}\sigma = {i_3}...{i_n}\sigma = {i_1}$$，则称$$\sigma $$为n_的循环置换 ；当n=2时，称为对换

   循环置换是指的一个映射。

   通过将循环置换与置换的乘积相结合，可以实现循环置换映射的通用表达

   循环置换的性质：

   1. $$({i_1}{i_2}{i_3}...{i_n}) = ({i_1}{i_2})({i_1}{i_3})..({i_1}{i_n})$$
   2. $${(ij)^2} = I$$

4. 置换的分解

   定理1：任一n阶置换均可分解为若干个没有共同数字的循环置换的乘积，且分解唯一。

   ​ 证明：用数学归纳法证明

   由定理1与循环置换的性质1：

   定理2：任一n_阶置换都可以分解为若干对换，但分解不唯一 ,分解的奇偶性不变

   ​ 奇偶性：一个置换被分解为奇数个对换，则称为奇置换

   ​ 奇偶性证明：用范德蒙行列式证明

2.7 二元运算

1. 概念

   设X,Y,Z是集合，$$f:X*Y \to Z$$ ，则称f为X,Y到Z的二元运算 ，X=Y时，运算封闭

   同理：f：X->Y称为一元运算

2. 运算规律

   为什么使用规律？

   需要一个通用的规律，否则每次运算都需要查看映射表

   1. 交换律
   2. 结合律
   3. 分配律（分为左分配律与右分配律）

3. 代数系

   注意同构的概念

2.8 特征函数

1. 概念

   设X是集合，$$A \subseteq X$$，且：$$\chi :X \to { 0,1} $$，对$$\forall x \in X$$ ，$$\chi (x) = \left{ \matrix{
   1,x \in A \hfill \cr
   0 \hfill \cr} \right.$$，则称$$\chi $$是A的特征函数，记做$$\chi_A $$.

2. 作用

   通过将集合转化为01串，使新产生的特征函数集合与原集合的代数系同构

3. 定理

   ch（x）和$2^X$存在一一对应

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