「闲话随笔」恋恋扰动星之器
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其实就是写一个 koishi 的数学题的题解和星之器的题解和扰动法的讲解。
jijidawang 说今天是恋恋日所以推荐我写 koishi 的数学题，不然这篇闲话是没有这道题的。
为啥吃饭的时候我盯了高二人半天好像只有 Delov 看了我一眼啊。
吃完晚饭回机房刚好赶上高一下课，被堵了，差点和人撞到融合。
晚上有 ARC 和 CF，挺充实一天。
推歌：粉色柠檬。
推这首歌和这首歌好不好听没关系，只是对于歌手与发行年份比较有感触。（但不是说这首歌不好听。）
寒假的时候出了乐正绫 AI，于是也出现了一些这首歌的星尘 Infinity + 洛天依 AI + 乐正绫 AI 的翻调，进一步加深了感触。
比较怀念那段日子。
推流 jijidawang 的闲话
推式子：
\[\begin{aligned}
f(x) &= \sum_{i = 1}^{n} x \bmod{i}\\
&= \sum_{i = 1}^{n} x - i\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\\
&= nx - \sum_{i = 1}^{n}i\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\\
\end{aligned}
\]
\(nx\) 不用管，考虑快速算出 \(\sum_{i = 1}^{n}i\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\)。直接算没法算，那就考虑从 \(f(x)\) 递推到 \(f(x + 1)\)。
不难发现当且仅当 \(i\) 为 \(x + 1\) 因数时，\(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\) 会增加一，因此 \(x + 1\) 对 \(\sum_{i = 1}^{n}i\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor\) 的贡献为其因数之和。
线性筛来一发。
Record.
属实神仙题。
不难发现行和列对于答案的贡献是单独计算的。
设 \(\phi(x)\) 是对于某一维中坐标为 \(x\) 的星的势能，势能的变化量为对答案的贡献。这个 \(\phi(x)\) 不好求出，但可以用它的变化量表示出来这个式子：
\[\phi(x) - \phi(x + 1) + \phi(y) - \phi(y - 1) = y - x - 1 (x < y)
\]
稍微移个项：
\[\phi(x + 1) - \phi(x) - (x + 1) = \phi(y) - \phi(y - 1) - y
\]
不难发现 \(\phi(x + 1) - \phi(x) - (x + 1)\) 是个定值，那么构造出一个 \(\phi(x)\) 满足这个式子是个定值就行了。
题解里构造的大都是 \(\phi(x) = \frac{x(x + 1)}{2}\)，jijidawang 构造了一个 \(\phi(x) = \frac{x^2}{2} + x\)，我构造了一组也是 \(\phi(x) = \frac{x(x + 1)}{2}\)。
然后每颗星 \((x,y)\) 的势能就是 \(\frac{x(x + 1) + y(y + 1)}{2}\)，由于「势能的变化量为对答案的贡献」，答案就是初始状态下的总势能减去最终状态的总势能。
挺有意思。
Record.
扰动法
大概就是化简一个和式的过程中，通过提出等式左边的末项和等式右边的首项，通过一顿操作化简掉的方法。
例如等比数列求和：\(Sn = \sum_{i = 0}^{n}A^{i}\)
\[\begin{aligned}
Sn + A^{n + 1} &= 1 + \sum_{i = 1}^{n + 1}A^{i}\\
Sn + A^{n + 1} &= 1 + ASn\\
(A - 1)Sn &= A^{n + 1} - 1\\
Sn &= \frac{A^{n + 1} - 1}{A - 1}\\
\end{aligned}
\]
一个简单例子：化简 \(\sum_{k = 1}^{n}k2^{k}\)。
这个是某天 xrlong 问我的，我用扰动法推出来后一翻混凝土数学发现是原😅
\[\begin{aligned}
Sn + (n + 1)2^{n + 1} &= 2^{1} + \sum_{k = 2}^{n + 1}k2^{k}\\
&= 2 + \sum_{k = 1}^{n}(k + 1)2^{k + 1}\\
&= 2 + 2\sum_{k = 1}^{n}(k + 1)2^k\\
&= 2 + 2\sum_{k = 1}^{n}k2^k + 2\sum_{k = 1}^{n}2^k\\
Sn + (n + 1)2^{n + 1} &= 2Sn + \sum_{k = 1}^{n + 1}2^k\\
Sn &= (n - 1)2^{n + 1} + 2\\
\end{aligned}
\]
一个有点困难的例子：化简 \(\sum_{k = 0}^{n}k^{t}\)。
\[\begin{aligned}
S_t(n) + (n + 1) ^ t &= \sum_{k = 1}^{n + 1}k^{t}\\
&= \sum_{k = 0}^{n}(k + 1)^{t}\\
&= \sum_{k = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{t}\dbinom{t}{j}k^{j}\\
&= \sum_{j = 0}^{t}\dbinom{t}{j}\sum_{k = 0}^{n}k^{j}\\
S_t(n) + (n + 1) ^ t &= \sum_{j = 0}^{t}\dbinom{t}{j}S_j(n)\\
S_{t + 1}(n) + (n + 1) ^ {t + 1} &= \sum_{j = 0}^{t + 1}\dbinom{t + 1}{j}S_j(n)\\
S_{t + 1}(n) + (n + 1) ^ {t + 1} &= \sum_{j = 0}^{t - 1}\dbinom{t + 1}{j}S_j(n) + (t + 1)S_{t}(n) + S_{t + 1}(n)\\
S_{t}(n) &= \frac{(n + 1) ^ {t + 1} - \sum_{j = 0}^{t - 1}\dbinom{t + 1}{j}S_j(n)}{(t + 1)}\\
\end{aligned}
\]
我写的好水啊。
