「闲话随笔」势能分析法

合集 - 2023 闲话(8)

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「闲话随笔」势能分析法

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• 「闲话随笔」势能分析法
  • 简介
  • 分析
  • 例题
    • 二进制计数器
    • 单调栈
    • Splay

这闲话已经被催了两天了，累死我了。

感谢 joke3579 帮我找到了 Tarjan 的论文。虽然没看懂只截了一下里面的图。

语文考了 82，需要单独给语文老师发作业，很闹心。

今日推歌：盲龙默虎 feat.洛天依 vs 言和。

iKz 老师的《一年一度武斗大赛》系列是不是快要更了？

简介

一种挺神奇的分析时间复杂度的方法。

一个算法/数据结构单次操作的复杂度难以计算时可以用势能分析法。

分析

设第 $i$ 次操作的时间复杂度为 $a_i$，显然总复杂度为 $\sum_{i=1}^{n}a_i$。

构造一个势能函数 $\phi(i)$ 表示第 $i$ 次操作后的势能，设 $\Delta_{\phi(i)}$ 表示单次的势能变化，即 $\Delta_{\phi(i)}=\phi(i)-\phi(i-1)$。

设摊还代价 $b_i=a_i+\Delta_{\phi(i)}$，则：

$$\sum_{i=1}^{n}a_i=(\sum_{i=1}^{n}a_i+\Delta_{\phi(i)})-\sum_{i=1}^{n}\Delta_{\phi(i)}=\sum_{i=1}^{n}b_i+\phi(0)-\phi(n)$$

不知道我在说什么，对不对？看起来啥用没有，对不对？

不对就怪了

实际上我们虽然无法算出具体的 $a_i$，但是可以用未知数表示出来，这个时候构造一个优秀的势能函数，就可以巧妙地将 $b_i$ 化为一个数或是求出其上限。

看看例题就都明白了。

例题

二进制计数器

题意：

一个二进制下的计数器，每次累加 $1$，做 $n$ 次累加，求操作的次数。

定义一次操作为一位上发生变化，因此每次累加 $1$ 可能会带有多次操作。

设每次累加会有 $x$ 位 $1$ 变为 $0$，那么 $a_i=x+1$（还会有一个 $0$ 变为 $1$）。

那么构造势能函数 $\phi(i)$ 表示累加 $i$ 次后数字里有多少个一。

显然 $\Delta_{\phi(i)}=1-x$。

然后就发生了一件神奇的事：$b_i=(x+1)+(1-x)=2$！

然后化简原式得到复杂度 $2n-\phi(n)\le 2n$。

单调栈

不会单调栈就来学这个是不是有点过猛了。

显然单调栈不用这么麻烦地分析，但确实可以这么用。

设每次操作会有 $x$ 个元素弹出，$1$ 个元素加入，那么 $a_i=x+1$。

那么构造势能函数 $\phi(i)$ 表示当前栈内元素个数。

显然 $\Delta_{\phi(i)}=1-x$。

然后就发生了一件神奇的事：$b_i=(x+1)+(1-x)=2$！

然后化简原式得到复杂度 $2n-\phi(n)\le 2n$。

然后还发生了一件神奇的事：这个过程和上个过程居然没啥区别。

Splay

默认读者已经会 splay 了，不会的话去网上搜 或者等我平衡树学习笔记写完了再看

定义 $x$ 为一棵 splay 上的一个节点，$x'$ 为 $x$ 旋一次后的位置，$\left|x\right|$ 为以 $x$ 为根的子树的大小，$\phi_{j}(x)=\log_{2}\left|x\right|$ 为一次 splay 操作中第 $j$ 次操作后节点 $x$ 的势能，$\Phi_j$ 为一次 splay 操作中第 $j$ 次操作后整棵树的势能。

然后我们开始分析三种旋转情况的 $a_i$:

1. 旋上根（$\text{zig}$）：

   

   可以发现转一次只会有 $x$ 和 $y$ 的势能发生变化。

   显然 $\phi_{j}(x)=\phi_{j-1}(y)$。

   $$\begin{aligned} b_{\text{zig}}&=a_j+\Delta_{\Phi_j}\\ &=1+\phi_{j}(x)+\phi_{j}(y)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &=1+\phi_{j}(y)-\phi_{j-1}(x)\\ &\le\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x)\\ \end{aligned}$$

2. 三点共线（$\text{zig-zig}$）：

   

   可以发现转一次只会有 $x,y$ 和 $z$ 的势能发生变化。

   显然 $\phi_{j}(x)=\phi_{j-1}(z)$。

   $$\begin{aligned} b_{\text{zig-zig}}&=a_j+\Delta_{\Phi_j}\\ &=2+\phi_{j}(x)+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)-\phi_{j-1}(z)\\ &=2+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ \end{aligned}$$

   注意到这个 $2$ 长得很难看，尝试把它去掉。

   不难发现 $\left|x\right|+\left|z'\right|+1=\left|x'\right|$，因此 $\left|x'\right|^2>4\cdot\left|x\right|\cdot\left|z'\right|$，那么：

   $$\phi_{j-1}(x)+\phi_{j}(z)-2\phi_{j}(x)=\log_2\frac{\left|x\right|\cdot\left|z'\right|}{\left|x'\right|^2}\le\log_2\frac{1}{4}=-2$$

   然后代入一下原式：

   $$\begin{aligned} b_{\text{zig-zig}}&=2+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &=2\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j}(z)+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &=2\phi_{j}(x)-2\phi_{j-1}(x)+\phi_{j}(y)-\phi_{j-1}(y)\\ &\le3(\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x)) \end{aligned}$$

   这样就求出了它的上限。

3. 三点不共线（$\text{zig-zag}$）：

   

   比较像上面的式子。

   $$\begin{aligned} b_{\text{zig-zag}}&=a_j+\Delta_{\Phi_j}\\ &=2+\phi_{j}(x)+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)-\phi_{j-1}(z)\\ &=2+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ \end{aligned}$$

   然后由于 $\left|y'\right|+\left|z'\right|+1=\left|x'\right|$：

   $$\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-2\phi_{j}(x)=\log_2\frac{\left|y'\right|\cdot\left|z'\right|}{\left|x'\right|^2}\le\log_2\frac{1}{4}=-2$$

   然后代入原式：

   $$\begin{aligned} b_{\text{zig-zag}}&=2+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &=2\phi_{j}(x)-\phi_{j}(y)-\phi_{j}(z)+\phi_{j}(y)+\phi_{j}(z)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &=2\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x)-\phi_{j-1}(y)\\ &\le2(\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x)) \end{aligned}$$

现在我们把三种旋转的摊还代价算出来了，问题变成了如何算出一次 splay 操作的摊还代价。

显然一次 splay 操作会进行若干次 $\text{zig-zig}$， $\text{zig-zag}$ 和至多一次 $\text{zig}$，且三者上限都不超过 $3(\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x))$，那么：

$$b_i\le\sum_{j=1}^{k}3(\phi_{j}(x)-\phi_{j-1}(x))=3(\phi_{k}(x)-\phi_{0}(x))=O(\log_2\frac{\left|x'\right|}{\left|x\right|})\le O(\log_2n)$$

然后由于 $0\le\Phi_i\le n\log_2n$，$-n\log_2n\le\Phi_0-\Phi_n\le n\log_2n$。

所以总复杂度为：

$$\sum_{i=1}^{m}a_i=\sum_{i=1}^{m}b_i+\Phi_0-\Phi_n\le O(m\log_2n)+O(n\log_2n)=O((m+n)\log_2n)$$

$$\Huge\mathfrak{The\ End}$$