「闲话随笔」枚举子集与枚举子集的子集与枚举子集的子集的子集

合集 - 2022 闲话(1)

1.「闲话随笔」枚举子集与枚举子集的子集与枚举子集的子集的子集2022-10-01

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「闲话随笔」套娃子集

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• 「闲话随笔」套娃子集
  • 枚举子集作用
  • 代码
  • 原理
  • 复杂度
  • 套娃子集

为什么要写这么弱智的内容：我太菜了。

枚举子集作用

常用于状压 DP。

枚举一个状态的所有子集状态。

例如 1101 的子集有：

1101
1100
1001
1000
0101
0100
0001
0000

代码

for (ll i = u; i; i = (i - 1) & u) {
	// i 是子集
}

原理

每次 i-1 后都会把当前状态的最后一个 1 后面的所有位变为 1，这一位变为 0。

再 &u 将不能为 1 的每一位变为零，保证当前枚举的是子集。

那么当前就可以枚举到 比上一个状态小的所有状态中最大的状态。

例如枚举 1101 的子集，当前到了 1100。

进行第一步得 1011，进行第二步得 1001。

感觉讲了和没讲一样，感性理解吧。

复杂度

枚举一个状态的的复杂度显然是 $2^n$ 的，这里主要讨论枚举 $0\sim 2^n$ 的所有状态的所有子集的时间复杂度。

显然可得式子：

$$\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}2^i$$

发现很眼熟，用个谔项式定理套一下：

$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}2^i &=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}2^i1^{n-i}\\ &=(2+1)^n\\ &=3^n \end{aligned}$$

得到了时间复杂度 $\Theta(3^n)$。

意义？

每一位有三种可能：

• 当前枚举的子集和状态这一位都是 0；
• 当前枚举的子集和状态这一位都是 1；
• 当前枚举的状态的这一位是 1，但它的子集的这一位是 0。

乘法原理得 $3^n$。

套娃子集

其实刚才讨论的情况可以当成：枚举状态 $2^n$ 的子集的子集。

那么我们考虑套娃：

$$\begin{matrix} \underbrace{枚举状态 2^n的子集的子集\cdots的子集}\\ k个的子集 \end{matrix}$$

时间复杂度：

$$\begin{aligned} &\sum_{i_1=0}^{n}\dbinom{n}{i_1}\sum_{i_2=0}^{n}\dbinom{n}{i_2}\cdots\sum_{i_k=0}^{n}\dbinom{n}{i_k}1\\ =&\sum_{i_1=0}^{n}\dbinom{n}{i_1}\sum_{i_2=0}^{n}\dbinom{n}{i_2}\cdots\sum_{i_{k-1}=0}^{n}\dbinom{n}{i_{k-1}}2^n\\ =&\sum_{i_1=0}^{n}\dbinom{n}{i_1}(k-1)^n\\ =&k^n \end{aligned}$$

组合意义同上。

真是非常有趣的性质呢。

$$\Huge{\mathfrak{The\ End}}$$