题解 洛谷P4550/BZOJ1426 【收集邮票】

这显然是一道概率的题目(废话)

设发\(f[i]\)表示买到第\(i\)张邮票还需要购买的期望次数，\(g[i]\)表示买到第\(i\)张邮票还需要期望花费的钱。

那么答案显然为\(g[0]\)，我们来考虑怎么转移。

对于\(f[i]\)，有三种情况：

• 现在有\(\frac{i}{n}\)的几率会买到重复的邮票，即\(f[i] \times \frac{i}{n}\).
• 现在有\(\frac{n-i}{n}\)的几率会买到新的邮票，即\(f[i+1] \times \frac{n-i}{n}\).
• 花费\(1\)次买现在的邮票。

所以我们可以列出：\(f[i]=f[i] \times \frac{i}{n} + f[i+1] \times \frac{n-i}{n} +1\).

方程较复杂，我们来化简一下。
\(f[i] - f[i] \times \frac{i}{n} =f[i+1] \times \frac{n-i}{n} +1\)
\(f[i] \times \frac{n-i}{n} =f[i+1] \times \frac{n-i}{n} +1\)
$f[i] =f[i+1] \times \frac{n}{n-i} $

我们可以知道\(f[n]\)是等于\(0\)的，所以倒推即可。

那对于\(g[i]\)怎么办呢？

同理，\(g[i]\)的推导跟\(f[i]\)类似，也分为买到自己已有的邮票和没有的邮票两种情况，即：

$g[i]=(f[i]+g[i]+1) \times \frac{i}{n} + (f[i+1]+g[i+1]+1) \times \frac{n-i}{n} $

同时我们也来化简一下：

$g[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{i}{n}g[i] + \frac{n-i}{n}(f[i+1]+g[i+1]) +1 \( \)\frac{n-i}{n}g[i]=\frac{i}{n}f[i] + \frac{n-i}{n}(f[i+1]+g[i+1]) +1 \( \)g[i]=\frac{i}{n-i}f[i] + f[i+1]+g[i+1] +\frac{n}{n-i} $

\(g[n]\)仍然为0，我们还是可以倒推。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define RI register int
using namespace std;
const int N=1e4+2;
int n;double f[N],g[N]; 
inline double S(int x,int y){return (1.0*x)/(1.0*y);}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=n-1;~i;--i){
    	f[i]=f[i+1]+S(n,n-i);
    	g[i]=S(i,n-i)*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+S(n,n-i);
    }printf("%.2lf",g[0]);
    return 0;
}