摘要：
定积分放缩法 若对于一个初等函数 \(f(x)\) 在闭区间 \(I\) 上单调、连续、可导 则对于满足 \(a_n=f(n)\) 的数列 \(\{a_n\}\) ，和满足 \([l-1,r+1]\subset I\) 的区间 \([l,r]\) ，有： 若 \(f(x)\) 单调不减时：\(\di 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 积性函数的性质 前面我们已经提到过了，积性函数，即为满足条件 $\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)=1\Leftrightarrow \boldsymbol f(a)\boldsymbol f(b)=\boldsymbol f(ab)$ 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 拓展中国剩余定理(exCRT) 给定 $n$ 组整数 $a_i,b_i$ 求解非负最小/某区间内的整数 $x$ 使得 $\begin{cases} x\equiv a_1(\mod b_1) \\\ \\ x\equiv a_2(\mod b_2) \\\ 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 拉格朗日插值 我们现在给定 $(n+1)$ 个点 $(x_i,y_i)$ ，请求解出一个不超过 $n$ 次的多项式函数 $P(x)$ 使得 $\forall i\in[1,n+1]\bigcap Z,P(x_i)=y_i$ 对于这种问题，暴力设出 $P(x 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 线性同余方程 对于同余式 $ax\equiv b(\mod m)$ 我们可以得知 $m\mid (ax b)$ 因此，设 $ax b= my$ 从而得到 $ax+my=b$ 由裴属定理，显然，方程有解的条件为 $gcd(a,m)\mid b$ 若满足上述条 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 线性求逆元题型 对于已知模数 $m$ ，求出在模 $m$ 意义下， $1$~$n$ 的逆元 （ $n\leq m 1$ ） $n$ 较大，只支持 $O(n)$ 复杂度的算法 (一般保证 $m$ 是质数，否则有的数不存在逆元) 线性算法 $O(n)$ 由递推 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 逆元的定义 根据前面的定义：对于模数 $m$ ，若对于剩余类 $[a]$ ，存在剩余类 $[b]$ 使得 $[a]\cdot [b]=[1]$ 则称呼 $[b]$ 为 $[a]$ 的逆元 我们写成同余的形式：若对于模数 $m$ 和整数 $a$ ，若 $b\ 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 裴属定理 裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，其形式上可以表现为： 对于 $\forall a,b\in Z_+$ ，设 $d=gcd(a,b)$ 则一定存在 $x,y\in Z_+$ 使得： $ax+by=d$ 证明： 设存在 $x,y\ 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 欧拉定理 对于任意互质的正整数对 $gcd(a,m)=1$ 则 $a^{\boldsymbol\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)$ 证明：对于 $\forall m\in Z_+$ 当 $m=1$ 时 $a^{\boldsymbol \ 阅读全文
摘要：
目录 "目录地址" "上一篇" "下一篇" 威尔逊定理 最早由英国的威尔逊爵士提出 一个大于 $1$ 的自然数为 $p$ ，则它为质数的充要条件为 $(p 1)!\equiv 1(\mod p)$ 证明： 充分性我们使用反证法：设 $p$ 是合数，则设其最小质因子为 $a$ 由于 $a<p$ 故 $ 阅读全文