题解 B. Torch - 2022 ICPC Jinan Site
好不容易（几乎）单开了一个非数学的金牌题，结果中期卡太久，机时不够了......
至少现场的通过人数来看是金牌题
【大意】
有两个人按每秒 \(1\) 个单位的速度依次行走。
第一个人从 \(0\) 时刻开始，每走 \(a_2\) 秒需要休息 \(b_2\) 秒。第二个人从 \(0\) 时刻开始，每走 \(a_2\) 秒需要休息 \(b_2\) 秒。
初始时刻，第二个人在第一个人身后 \(1\) 个单位，每秒钟第一个人先走，第二个人后走。
第二个人无法穿过第一个人。
\(n\) 次询问，每次询问经过时间 \(q_i\) 后，第二个人走过的距离。
【分析】
由于第一个人的行动状态是很好描述的，经过时间 \(T\) 后，走过的距离为 \(\displaystyle \lfloor{T\over a_1+b_1}\rfloor\cdot a_1+\min(T\bmod (a_1+b_1), a_1)\) ；因此，如果我们能求出经过时间 \(T\) 后，两人走过的距离差，第二个人走过的距离显然也很好求解了。
考虑以第二个人作为参考系，则等价于第一个人运动的周期是 \(\text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) ，每秒的运动都是 \(-1,0,1\) 的数组；即一个 \(a_1\) 个 \(1\) 拼上 \(b_1\) 个 \(0\) 为周期的数组，减去一个 \(a_2\) 个 \(1\) 拼上 \(b_2\) 个 \(0\) 为周期的数组。
我们称减去后，得到的周期数组为 \(d_i\) ，则第 \(T\) 秒两人之间的距离，是一个初始为 \(0\) 的项，每次加上 \(d_i\) 后取 \(\max\) 得到的结果。
考虑到 \(d_i\) 数组必然是若干段都是 \(-1, 0, 1\) 的数组拼接而成，因此，我们可以将相同的段压缩为 \(\left<val,len\right>\) 的二元组。可以证明，这样的二元组是 \(O(a+b)\) 级别，且可以 \(O(a+b)\) 求出。
于是，问题化为给定二元组表示的周期数组 \(d_i\) ，现在 \(n\) 询问 \(q_i\) 次求和后取 \(\max\) 得到的结果
由于 \(q_i\leq 10^{16}\) ，暴力模拟答案复杂度显然错误。
我们考虑模拟的过程，当 \(q_i\leq \text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) 时，我们显然可以通过前缀和的方法模拟出所有位置的结果。查询的时候我们只需要二分第一个小于等于询问位置的前缀和位，然后加上尾巴的贡献即可。
但是当 \(q_i>\text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) 时，我们并不是重复上述的模拟过程，因为在第一轮模拟时，初始值为 \(0\) ；而后续的模拟时，初始值可能会超过 \(0\) 。
仔细思考一下，其实后续的情况仅有两种，以下进行解释为什么只有两种：
我们称在模拟过程中，一旦模拟到某一步时，答案降为 \(0\) ；则称这一步为模拟过程的零点。那么，显然存在一个性质：当第二轮模拟时，出现零点，则这个零点也是第一轮模拟的零点。（显然，因为第一轮的初始值不会高于第二轮的初始值）
这个性质表示，如果第二轮出现零点，则从此开始，第二轮后续的结果都将和第一轮的结果一致。因此，第二轮结束后，第三轮的初始值是第二轮的输出值，其恰好为第一轮的输出值，即第二轮的初始值；进一步推导，可以证明，接下来所有轮的结果，均与第二轮结果一致。
对于该情况，我们在询问 \(q_i>\text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) 时，直接放缩到 \(\text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) 范围内，然后在第二轮模拟的结果内像第一轮那样查询即可。
而如果第二轮模拟时不出现零点，则其输出值必然高于第一轮的输出值；因此第三轮的初始值高于第二轮初始值，必然也不会产生零点；进一步推导可知，后续轮的模拟过程中均不会出现零点。
因此，从第二轮开始，每一轮模拟的输出结果都是上一轮模拟的输出结果加上 \(\displaystyle \sum_i d_i\) ；中间部分的运行结果和第二轮模拟的结果，相比各自的初始值都是一致的。
因此，我们同样像第一种情况那样二分查询后，加上 \(\displaystyle \lfloor{T\over \text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)}\rfloor-1\) 倍的 \(\displaystyle \sum_i d_i\) 即可。
综上，我们只需要在 \(d_i\) 数组上用前缀和的方式模拟两轮，然后每次二分查询即可。复杂度为模拟的 \(O(a+b)\) 加上查询的 \(O(n\log(a+b))\) 。
【代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;
#define fi first
#define se second
const int MAXN=6e6+10;
const ll inf=1e18;
ll a1, b1, a2, b2;
int n;
vector<pii> v;
vector<pii> dis1, dis2;
ll val1, val2, sumit, L;
inline ll dist(ll q) {
int idx=-1;
ll res=0;
if(q<=L) {
idx=upper_bound(dis1.begin(), dis1.end(), pii(q, inf)) - dis1.begin() - 1;
res=dis1[idx].se;
q-=dis1[idx].fi;
}
else {
ll tmp=q/L-1;
q-=(tmp+1)*L;
if(val1!=val2)
res=sumit*tmp;
idx=upper_bound(dis2.begin(), dis2.end(), pii(q, inf)) - dis2.begin() - 1;
res += dis2[idx].se;
q-=dis2[idx].fi;
}
return max(0ll, res+q*v[idx].fi);
}
inline ll simulate(vector<pii> &v, vector<pii> &dis, ll ini_val) {
dis.clear();
dis.reserve(v.size());
ll sum_len=0;
for(auto e : v) {
dis.push_back(pii(sum_len, ini_val));
sum_len+=e.se;
ini_val = max(ini_val+e.fi*e.se, 0ll);
}
return ini_val;
}
inline void init() {
v.clear();
ll pos1=0, pos2=0;
int flag1=1, flag2=1;
do {
ll dis1=(flag1?a1:a1+b1)-pos1;
ll dis2=(flag2?a2:a2+b2)-pos2;
ll dis=min(dis1, dis2);
v.push_back(pii(flag1-flag2, dis));
pos1=(pos1+dis)%(a1+b1);
pos2=(pos2+dis)%(a2+b2);
flag1=(pos1<a1);
flag2=(pos2<a2);
}while(pos1||pos2);
L=(a1+b1)/__gcd(a1+b1, a2+b2)*(a2+b2);
}
inline void work() {
cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>n;
init();
val1=simulate(v, dis1, 0);
val2=simulate(v, dis2, val1);
sumit=0;
for(auto e : v) sumit+=e.fi*e.se;
ll q;
for(int i=1; i<=n; ++i) {
cin>>q;
cout<<q/(a1+b1)*a1+min(q%(a1+b1), a1)-dist(q)<<"\n";
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
int T; cin>>T;
while(T--)
work();
return 0;
}
【补充】
简单证明一下，为什么按相同的值合并后，长度是 \(O(a+b)\) 级别的。
我们考虑将 \(a_1\) 个 \(1\) 拼上 \(b_1\) 个 \(0\) 为周期的序列倍长至 \(\displaystyle \text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\) 。由于其被重复了 \(\displaystyle {\text{lcm}(a_1+b_1, a_2+b_2)\over a_1+b_1}\) 次，每一次内部最多有一次的 \(0/1\) 分界，相邻两次之间最多也只有一次 \(0/1\) 分界。因此，分界点的级别是 \(O(a_2+b_2)\) 的。
同理，将 \(a_2\) 个 \(1\) 拼上 \(b_2\) 个 \(0\) 为周期的序列倍长后，分界点的级别同样是 \(O(a_1+b_1)\) 的。
我们将两个序列对减后，最坏情况下即为所有分界点恰好错开，新序列的分界点级别仍然是 \(O(a+b)\) 的。
由于分界点中间的一段值都必然相同，因此将相同的段合并后，长度即为 \(O(a+b)\) 的。
