唯一质数分解定理和裴蜀定理的一个推论

【命题】

两互质数，其和与积必然互质

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【数学形式】

对于 \(m,n\in Z\wedge gcd(m,n)=1\)

一定有 \(gcd(mn,m+n)=1\)

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【证明】

\(\because \begin{cases} (mn)\times (-1)+(m+n)\times m=m^2 \\\ \\ (mn)\times (-1)+(m+n)\times n=n^2 \end{cases}\)

\(\therefore\) 由裴蜀定理，第一个式子可得 \(gcd(mn,m+n)\mid m^2\) ，由第二个式子可得 \(gcd(mn,m+n)\mid n^2\)

故 \(gcd(mn,m+n)\mid gcd(m^2,n^2)\)

由唯一质数分解定理，得 \(gcd(m^2,n^2)=1\)

故 \(gcd(mn,m+n)\mid 1\)

\(\therefore gcd(mn,m+n)=1\)