莫比乌斯反演的特例：欧拉反演与除数和反演
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除了正规的元函数反演，一些其它函数的反演也在莫比乌斯反演中用得较多，而且一定程度上可以加快反演的速度
欧拉反演
由 \(\boldsymbol \varphi*\boldsymbol I=\boldsymbol {id}\) 的性质推出 \(\displaystyle n=\boldsymbol {id}(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \varphi(d)\cdot \boldsymbol I({n\over d})=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \varphi(d)\)
洛谷P1447 [NOI2010]能量采集
同样，设 \(n\leq m\)
对于某个节点 \((x,y)\) ，它与机器连线上的植物有 \(gcd(x,y)-1\) 个（不包括端点）
即 \(k=gcd(x,y)-1\) 故损失为 \(2k+1=2gcd(x,y)-1\)
故 \(\displaystyle ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2gcd(i,j)-1)=2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-nm\)
接下来，我们考虑 \(\displaystyle g=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\) 则 \(ans=2g-nm\)
这里使用欧拉反演 \(\displaystyle gcd(i,j)=\sum_{d\mid gcd(i,j)}\boldsymbol \varphi(d)\)
故 \(\displaystyle g=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid gcd(i,j)}\boldsymbol \varphi(d)=\sum_{d=1}^n\boldsymbol \varphi(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d\mid i\wedge d\mid j]=\sum_{d=1}^n\boldsymbol \varphi(d)\sum_{i=1}^n[d\mid i]\sum_{j=1}^m[d\mid j]=\sum_{d=1}^n\boldsymbol \varphi(d)\cdot (n/d)\cdot (m/d)\)
除数反演
由 \(\boldsymbol {id}^k*\boldsymbol I=\boldsymbol \sigma_k\) 的性质推出 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol {id}^k(d)\cdot \boldsymbol I({n\over d})=\sum_{d\mid n}d^k\)
洛谷P3935 Calculating
显然，所求为 \(\displaystyle \sum_{i=l}^r\boldsymbol \sigma_0(i)\)
设 \(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^n\boldsymbol \sigma_0(i)\) 则 \(ans=S(r)-S(l-1)\)
考虑 \(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^n\boldsymbol \sigma_0(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid n}d^0=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n[d\mid i]=\sum_{d=1}^n(n/d)\)
