常见迪利克雷卷积及其证明
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所有积性函数和 \(\boldsymbol \varepsilon\) 的卷积都为其本身
由定义可以直接得到
\(\boldsymbol \mu\) 与 \(\boldsymbol I\) 的卷积为 \(\boldsymbol \varepsilon\)
由定义可以直接得到
\(\boldsymbol I\) 与 \(\boldsymbol I\) 的卷积为 \(\boldsymbol \sigma_0\)
\(\displaystyle (\boldsymbol I*\boldsymbol I)(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol I(d)\cdot \boldsymbol I({n\over d})=\sum_{d\mid n}1\cdot 1=\sum_{d\mid n}1=\boldsymbol \sigma_0(n)\)
\(\boldsymbol I\) 与 \(\boldsymbol {id}^k\) 的卷积为 \(\boldsymbol \sigma_k\)
\(\displaystyle (\boldsymbol I*\boldsymbol {id}^k)(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol I({n\over d})\cdot \boldsymbol {id}^k(d)=\sum_{d\mid n}1\cdot d^k=\sum_{d\mid n}d^k=\boldsymbol \sigma_k(n)\)
\(\boldsymbol \sigma_k\) 与 \(\boldsymbol \mu\) 的卷积为 \(\boldsymbol {id}^k\)
\(\boldsymbol \sigma_k*\boldsymbol \mu=\boldsymbol {id}^k*\boldsymbol I*\boldsymbol \mu=\boldsymbol {id}^k*\boldsymbol \varepsilon=\boldsymbol {id}^k\)
\(\boldsymbol \varphi\) 与 \(\boldsymbol I\) 的卷积为 \(\boldsymbol {id}\)
考虑 \(n\) 个分数 \({1\over n},{2\over n},{3\over n}\cdots {n-1\over n}\)
我们现在把它们能约分的都约分了，显然，约分过后的所有分母一定为 \(n\) 的因数
我们考虑分母为 \(d\) 的分数，它们的个数显然为： \(\displaystyle \sum_{i=1}^n[{n\over gcd(i,n)}=d]=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)={n\over d}]\)
那么有几个数字 \(i\) 满足 \(gcd(i,n)={n\over d}\) 呢？
首先，我们可以知道，满足的数字一定是 \(i={n\over d}\cdot k\) 的形式，其中 \(k\) 是非负整数，因此 \(k\) 的范围是 \(1\)~\(d\)
所以个数为 \(\displaystyle \sum_{k=1}^d[gcd({n\over d}\cdot k,n)={n\over d}]\)
由于 \(gcd\) 的性质，易得到 \(gcd({n\over d}\cdot k,{n\over d}\cdot d)={n\over d}\cdot gcd(k,d)\)
带进去即可得到个数为 \(\displaystyle \sum_{k=1}^d[{n\over d}\cdot gcd(k,d)={n\over d}]=\sum_{k=1}^d[gcd(k,d)=1]\)
由定义可得， \(\displaystyle \sum_{k=1}^d[gcd(k,d)=1]=\boldsymbol \varphi(d)\)
因此，分母为 \(d\) 的数个数为 \(\boldsymbol \varphi(d)\) 个
而把所有因数考虑起来，即为总分数个数 \(n\)
故 \(\displaystyle n=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \varphi(d)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \varphi (d)\cdot \boldsymbol I({n\over d})\)
因此 \(\boldsymbol \varphi*\boldsymbol I=\boldsymbol {id}\)
\(\boldsymbol {id}\) 与 \(\boldsymbol \mu\) 的卷积为 \(\boldsymbol \varphi\)
\(\boldsymbol {id}*\boldsymbol \mu=\boldsymbol \varphi*\boldsymbol I*\mu=\boldsymbol \varphi*\boldsymbol \varepsilon=\boldsymbol \varphi\)
\(\boldsymbol {id}\) 与 \(\boldsymbol {id}\) 的卷积为 \(\boldsymbol {id}\cdot \boldsymbol \sigma_0\)
\(\displaystyle (\boldsymbol {id}*\boldsymbol {id})(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol {id}(d)\cdot \boldsymbol {id}({n\over d})=\sum_{d\mid n}d\cdot {n\over d}=\sum_{d\mid n}n=n\cdot \sum_{d\mid n}1=(\boldsymbol {id}\cdot \boldsymbol \sigma_0)(n)\)
\(\boldsymbol {id}^k\) 与 \(\boldsymbol {id}^k\) 的卷积为 \(\boldsymbol {id}^k\cdot \sigma_0\)
\(\displaystyle (\boldsymbol {id}^k*\boldsymbol {id}^k)(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol {id}^k(d)\cdot \boldsymbol {id}^k({n\over d})=\sum_{d\mid n}d^k\cdot ({n\over d})^k=\sum_{d\mid n}n^k=n^k\cdot \sum_{d\mid n}1=(\boldsymbol {id}^k\cdot \boldsymbol \sigma_0)(n)\)
\(\boldsymbol {id}^k\) 与 \(\boldsymbol {id}^t(t\geq k)\) 的卷积为 \(\boldsymbol {id}^k\cdot \sigma_{t-k}\)
\(\displaystyle (\boldsymbol {id}^k*\boldsymbol {id}^t)(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol {id}^k({n\over d})\cdot \boldsymbol {id}^t(d)=\sum_{d\mid n}({n\over d})^k\cdot d^t=\sum_{d\mid n}n^k\cdot d^{t-k}=n^k\cdot \sum_{d\mid n}d^{t-k}=(\boldsymbol {id}^k\cdot \boldsymbol \sigma_{t-k})(n)\)
任意完全积性函数 \(\boldsymbol g\) 与积性函数 \(\boldsymbol f\cdot \boldsymbol g\) 的卷积为 \((\boldsymbol f*\boldsymbol I)\cdot \boldsymbol g\)
\(\displaystyle (\boldsymbol g*(\boldsymbol f\cdot \boldsymbol g)\ )(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol g({n\over d})\cdot \boldsymbol f(d)\cdot \boldsymbol g(d)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)\cdot \boldsymbol g(n)=\boldsymbol g(n)\cdot\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)=\boldsymbol g(n)\cdot\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)\cdot \boldsymbol I({n\over d})=(\ (\boldsymbol f*\boldsymbol I)\cdot \boldsymbol g)(n)\)
这个性质有一个弱化版：若对于积性函数 \(\boldsymbol g\) 满足 \(\boldsymbol g({n\over d})\cdot \boldsymbol g(d)=\boldsymbol h(n),d\mid n\) 则 \(\boldsymbol g*(\boldsymbol f\cdot \boldsymbol g)=(\boldsymbol f*\boldsymbol I)\cdot \boldsymbol h\)
思路类似于上面，就不写了
