莫比乌斯函数的由来与性质
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莫比乌斯函数的由来
对于方程 \(\displaystyle \boldsymbol F(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)\)
我们若已知 \(\boldsymbol f\) 可以通过递推，很快地求解出 \(\boldsymbol F\)
但通过这个式子，若已知 \(\boldsymbol F\) 如何反求解出 \(\boldsymbol f\) 呢？
很显然 \(\displaystyle \boldsymbol F(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)\boldsymbol I({n\over d})=(\boldsymbol f*\boldsymbol I)(n)\)
最后一步用到了迪利克雷卷积的定义
因此，很显然的 \(\boldsymbol F=\boldsymbol f*\boldsymbol I\)
当然，我们不妨设 \(\boldsymbol I\) 的逆元为 \(\boldsymbol \mu\)
则两边卷上 \(\boldsymbol \mu\) 得 \(\boldsymbol F*\boldsymbol \mu=\boldsymbol f*\boldsymbol I*\boldsymbol \mu=\boldsymbol f*\boldsymbol \varepsilon=\boldsymbol f\)
这样，我们就可以得到 \(\boldsymbol f\) 了，这就是莫比乌斯函数的由来
莫比乌斯函数的值
显然，根据莫比乌斯函数的定义： \(\boldsymbol \mu*\boldsymbol I=\boldsymbol \varepsilon\)
首先， \(\boldsymbol \mu(1)=1,\boldsymbol \mu\) 为积性函数
其次，若 \(n\neq 1\) 则有
\(\displaystyle 0=\boldsymbol \varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \mu(d)\boldsymbol I({n\over d})=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \mu(d)\)
由于莫比乌斯函数是积性函数，我们只需要考虑 \(\boldsymbol \mu(p^k)\) 即可了：
当 \(k=1\) 时 \(\displaystyle 0=\sum_{d\mid p}\boldsymbol \mu(d)=\boldsymbol \mu(p)+\boldsymbol \mu(1)\)
得到 \(\boldsymbol \mu(p)=-\boldsymbol \mu(1)=-1\)
当 \(k\neq 1\) 时 \(\displaystyle 0=\sum_{d\mid p^k}\boldsymbol \mu(d)=\sum_{c=0}^k\boldsymbol \mu(p^c)=\sum_{c=2}^k\boldsymbol \mu(p^c)+\boldsymbol \mu(p)+\boldsymbol \mu(1)=\sum_{c=2}^k\boldsymbol \mu(p^c)\)
由于该式对任意的 \(k>1\) 均成立，所以我们很快可以得到 \(\boldsymbol \mu(p^c)=0,c>1\)
因此，我们可以简单归纳为 \(\boldsymbol \mu(p^k)=-[k=1]\)
或者我们这样写：\(\boldsymbol \mu(p^k)=[p^2\nmid p^k]\cdot (-1)^{[p\mid p^k]}\)
所以，对于 \(n\) 我们有 \(\displaystyle \boldsymbol \mu(n)=\prod_{i=1}^m[p_i^2\nmid n]\cdot (-1)^{[p_i\mid n]}\)
