积性加性函数的运算到迪利克雷卷积
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数论函数的基础运算
对于两个数论函数（包括但不限于积性、加性函数，比如 \(n\) 以内的质数个数 \(\pi(n)\) ），我们设为 \(f(n),g(n)\)
则定义以下加、乘和复合三种运算：
\((f+g)(n)=f(n)+g(n)\)
\((f\cdot g)(n)=f(n)\cdot g(n)\)
\(f(g)(n)=f(\ g(n)\ )\)
额外的，对于常数 \(C\) ，我们还能定义数乘 \((Cf)(n)=C\cdot f(n)\)
可以发现，加法、乘法、数乘运算是符合交换律、结合律、分配律以及消去律的
迪利克雷卷积
我们定义两个数论函数 \(f,g\) ，它们的迪利克雷卷积我们记为 \(h\)
则 \(h=f*g\)
那么，我们这样定义迪利克雷卷积：
\(\displaystyle h(n)=(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g({n\over d})\)
那么，很显然，迪利克雷卷积符合交换律、结合律以及分配律：
交换律：
\(\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g({n\over d})=\sum_{d\mid n}f({n\over d})g(d)=(g*f)(n)\)
结合律：
\(\displaystyle (\ (f*g)*h\ )(n)=\sum_{i\cdot j\cdot k=n}(\ f(i)\cdot g(j)\ )\cdot h(k)=\sum_{i\cdot j\cdot k=n}f(i)(\ g(j)\cdot h(k)\ )=(\ f*(g*h)\ )(n)\)
分配律：
\(\displaystyle (\ (f+g)*h\ )(n)=\sum_{d\mid n}(\ f(d)+g(d)\ )\cdot h({n\over d})=\sum_{d\mid n}f(d)h({n\over d})+\sum_{d\mid n}g(d)h({n\over d})=(f*h+g*h)(n)\)
迪利克雷卷积的元
我们求加法时，对于任意的数 \(r\in C\) ，设存在一个元为 \(e\) ，则需要满足 \(r+e=r\)
因此 \(e=0\) ，我们称呼 \(0\) 为加法的元
同理，求乘法时，可以得到 \(1\) 为乘法的元
因此，我们可以简单理解为：对于满足交换律的二元运算符，当一项为元时，另一项经过该次运算，结果不变
因此我们考虑先设迪利克雷卷积的元为 \(e\)
则对于另一个数论函数 \(f\) ，我们显然可以得到:
\(\displaystyle f(n)=(f*e)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)e({n\over d})\)
我们把它分离开来：
\(\displaystyle f(n)=f(n)e(1)+\sum_{d\mid n\wedge d\neq n}f(d)e({n\over d})\)
由于我们要保证这个式子绝对成立，因此 \(e(1)=1,e(d)=0(d\mid n\wedge d\neq 1)\)
又因为对任意正整数 \(n\) 都成立，而对于任意正整数，一定存在倍数，因此任意正整数都可能是某个数的因数
故 \(e(1)=1,e(n)=0(n\neq 0)\)
我们简记为 \(e(n)=[n=1]\)
实际上，这是上一篇提到的元函数 \(\boldsymbol \varepsilon\)
迪利克雷卷积的逆元
同样，由于对于任意的数 \(r\in C\) ，元为 \(e\)，运算符为 \(\oplus\)
若存在 \(k\) 使得 \(r\oplus k=e\) 则称 \(k\) 为 \(r\) 的逆元（加法中我们一般称负元）
同理，我们定义在迪利克雷卷积中，对于数论函数 \(f\) ，若存在 \(g\) 使得
\(\displaystyle [n=1]=\boldsymbol \varepsilon(n)=(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g({n\over d})\)
则称呼 \(g\) 为 \(f\) 的逆元
我们用定义求解 \(g\)
\(\displaystyle [n=1]=\sum_{d\mid n}f(d)g({n\over d})=\sum_{d\mid n\wedge d\neq 1}f(d)g({n\over d})+f(1)g(n)\)
因此，当 \(f(1)\) 不为零时，存在逆元
\(\displaystyle g(n)={1\over f(1)}([n=1]-\sum_{d\mid n\wedge d\neq 1}f(d)g({n\over d})\ )\)
特别的，当 \(f\) 为积性函数时，由于 \(f(1)=1\)
故 \(\displaystyle g(n)=[n=1]-\sum_{d\mid n\wedge d\neq 1}f(d)g({n\over d})\)
