积性加性函数性质与常见积性加性函数
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积性函数的性质
前面我们已经提到过了，积性函数，即为满足条件 \(\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)=1\Leftrightarrow \boldsymbol f(a)\boldsymbol f(b)=\boldsymbol f(ab)\) 的函数 \(\boldsymbol f\)
特别地，对于 \(\forall a,b\in Z_+,\boldsymbol f(a)\boldsymbol f(b)=\boldsymbol f(ab)\) 的函数 \(\boldsymbol f\) 我们称为完全积性函数
当然，有积性函数就对应的一定有加性函数：对于 \(\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)=1\Leftrightarrow f(a)+f(b)=f(ab)\)
对应的，如果不需要满足 \(gcd(a,b)=1\) 称为完全加性函数
很显然，对于常数 \(C(n)\) 和加性函数 \(\alpha(n)\) ，显然 \(C^\alpha(n)\) 函数为积性函数；若 \(\alpha(n)\) 为完全加性函数，则 \(C^\alpha(n)\) 函数为完全积性函数
显然，根据上述结论，显然积性函数 \(\displaystyle \boldsymbol f(\prod_{i=1}^np_i^{k_i})=\prod_{i=1}^n\boldsymbol f(p_i^{k_i})\)
额外的，完全积性函数还能推出 \(\displaystyle \boldsymbol f(\prod_{i=1}^np_i^{k_i})=\prod_{i=1}^n\boldsymbol f(p_i)^{k_i}\)
同理，推得加性函数 \(f(n)\) 满足 \(\displaystyle f(\prod_{i=1}^np_i^{k_i})=\sum_{i=1}^nf(p_i^{k_i})\) ，完全加性函数 \(\displaystyle f(\prod_{i=1}^np_i^{k_i})=\sum_{i=1}^nf(p_i^{k_i})=\sum_{i=1}^n(k_i\cdot f(p_i)\ )\)
额外的，还有积性函数 \(\begin{cases} \boldsymbol f(1)=\boldsymbol f(1\times 1)=\boldsymbol f(1)\cdot \boldsymbol f(1) \\\ \\ \boldsymbol f(p_i)=\boldsymbol f(p_i\cdot 1)=\boldsymbol f(p_i)\cdot \boldsymbol f(1) \end{cases} \Rightarrow \boldsymbol f(1)=1\)
加性函数则 \(\begin{cases} f(1)=f(1\times 1)=f(1)+f(1) \\\ \\ f(p_i)=f(p_i\cdot 1)=f(p_i)+f(1) \end{cases} \Rightarrow f(1)=0\)
常见积性函数
常见加性函数包括：
\(\displaystyle \Omega(n)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n}1\) 即总的质因子数
\(\displaystyle \omega(n)=\sum_{p\in Prime}[p\mid n]\) 即互异的质因子数
\(\displaystyle a_0(n)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n}p\) 即总的质因子和
\(\displaystyle a_1(n)=\sum_{p\in Prime}[p\mid n]p\) 即互异的质因子和
常见的积性函数包括：
幂函数 \(\boldsymbol{id}^k(n)=n^k,\boldsymbol I(n)=\boldsymbol {id}^0(n),\boldsymbol{id}(n)=\boldsymbol{id}^1(n)\)
\(\boldsymbol I(n)\) 又称为恒等函数
除数和函数 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k,\boldsymbol d(n)=\boldsymbol \sigma(n)=\boldsymbol \sigma_1(n)\)
欧拉函数 \(\displaystyle \boldsymbol \varphi(n)=\sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=1]\)
\(k\) 固定的最大公因数 \(gcd(n,k)\)
刘维尔函数 \(\boldsymbol \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}\)
\(\boldsymbol \gamma(n)=(-1)^{\omega(n)}\)
元函数 \(\boldsymbol \varepsilon(n)=\boldsymbol e(n)=[n=1]\)
莫比乌斯函数 \(\displaystyle \boldsymbol \mu(n)=\prod_{p\in Prime}[p^2\nmid n](-1)^{[p\mid n]}\) 。即，如果总共的 \(k\) 个质因数，次数都是 \(1\) ，则函数值取 \((-1)^k\) ；否则函数值取 \(0\)
当然，以及上述说的，对于任意常数 \(C(n)\) ，和加性函数 \(\alpha(n)\) ，则 \(C^\alpha(n)\) 也是积性
有人莫比乌斯函数爱用这种写法： \(\boldsymbol \mu(n)=\begin{cases} 1,n=1 \\\ \\ (-1)^k,\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i \\\ \\ 0,\text{others} \end{cases}\)
加性函数、积性函数的证明
除了 \(\boldsymbol \sigma_k(n)\) 与 \(\boldsymbol \varphi(n)\) 的积性已经在前面的文章中证明。现在对其它的进行证明。
首先，证明加性需要先证明 \(1\) 处取值为 \(0\) ；积性需证明 \(1\) 处取值为 \(1\)
证明加性或积性，则要保证 \(gcd(n,m)=1\) 时可分离
而如果证明完全加性或积性，只需要证明 \(n\times p_i\) 可分离即可。因为证明 \(n\times m\) 可分离可通过将 \(m\) 质因数分解，然后动用前面的正确性合并。
加性函数积性函数的互转
对于符合条件的 \(a,b\) ；即若为完全积性函数则 \(a,b\in Z_+\)，为非完全的则额外加上 \(gcd(a,b)=1\)
再有加性函数 \(\alpha(n)\)
显然有 \(C^\alpha(ab)=C^{\alpha(ab)}=C^{\alpha(a)+\alpha(b)}=C^{\alpha(a)}\cdot C^{\alpha(b)}=C^\alpha(a)\cdot C^\alpha(b)\)
且 \(C^\alpha(1)=C^{\alpha(1)}=C^0=1\)
\(\Omega(n)\) 完全加性的证明
\(\displaystyle \Omega(1)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid 1}1=0\)
\(\displaystyle \Omega(n\times p_i)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n\times p_i}1=(\sum_{p\in Prime\wedge p\neq p_i}\sum_{p^k\mid n\times p_i}1)+(\sum_{p_i^k\mid n\times p_i}1)=(\sum_{p\in Prime\wedge p\neq p_i}\sum_{p^k\mid n}1)+(\sum_{p_i^k\mid n}1)+1=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n}1+1=\Omega(n)+\Omega(p_i)\)
\(\omega(n)\) 加性的证明
\(\displaystyle \omega(1)=\sum_{p\in Prime}[p\mid 1]=0\)
当 \(gcd(n,m)=1\) 时
\(\displaystyle \omega(n\times m)=\sum_{p\in Prime}[p\mid n\times m]=\sum_{p\in Prime}[p\mid n]+\sum_{p\in Prime}[p\mid m]=\omega(n)+\omega(m)\)
\(a_0(n)\) 完全加性的证明
\(\displaystyle a_0(1)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid 1}p=0\)
\(\displaystyle a_0(n\times p_i)=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n\times p_i}p=\sum_{p\in Prime\wedge p\neq p_i}\sum_{p^k\mid n\times p_i}p+\sum_{p_i^k\mid n\times p_i}p_i=\sum_{p\in Prime\wedge p\neq p_i}\sum_{p^k\mid n}p+\sum_{p_i^k\mid n}p_i+p_i=\sum_{p\in Prime}\sum_{p^k\mid n}p+p_i=a_0(n)+a_0(p_i)\)
\(a_1(n)\) 加性的证明
\(\displaystyle a_1(1)=\sum_{p\in Prime}[p\mid 1]p=0\)
当 \(gcd(n,m)=1\) 时
\(\displaystyle a_1(n\times m)=\sum_{p\in Prime}[p\mid n\times m]p=\sum_{p\in Prime}[p\mid n]p+\sum_{p\in Prime}[p\mid m]p=a_1(n)+a_1(m)\)
\(\boldsymbol {id}^k(n)\) 完全积性的证明
\(\displaystyle \boldsymbol {id}^k(1)=1^k=1\)
\(\displaystyle \boldsymbol {id}^k(n\times p_i)=(n\times p_i)^k=n^k\times p_i^k=\boldsymbol {id}^k(n)\cdot \boldsymbol {id}^k(p_i)\)
\(\boldsymbol \lambda(n)\) 与 \(\boldsymbol \gamma(n)\) 的完全积性/积性证明
由于 \(\boldsymbol \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},\boldsymbol \gamma(n)=(-1)^{\omega(n)}\)
又因为 \(\Omega(n),\omega(n)\) 为完全加性/加性函数，\((-1)\) 为常数
因此原命题得证
\(\boldsymbol \varepsilon(n)\) 完全积性的证明
\(\boldsymbol \varepsilon(1)=[1=1]=1\)
\(\boldsymbol \varepsilon(n\times p_i)=[n\times p_i=1]=[n=1]\cdot[p_i=1]=\boldsymbol \varepsilon(n)\cdot \boldsymbol\varepsilon(p_i)\)
\(\boldsymbol \mu(n)\) 积性的证明
\(\displaystyle \boldsymbol \mu(1)=\prod_{p\in Prime}[p^2\nmid 1](-1)^{[p\mid 1]}=\prod_{p\in Prime}(-1)^0=1\)
当 \(gcd(n,m)=1\) 时
\(\displaystyle \boldsymbol \mu(n\times m)=\prod_{p\in Prime}[p^2\nmid n\times m](-1)^{[p\mid n\times m]}=(\prod_{p\in Prime}[p^2\nmid n](-1)^{[p\mid n]})\cdot(\prod_{p\in Prime}[p^2\nmid m](-1)^{[p\mid m]})=\boldsymbol \mu(n)\cdot \boldsymbol \mu(m)\)
这里需要考虑到 \(n,m\) 的质因数不重合，因此分别考虑它们质因数的贡献：个数和是否有质因数次数大于 \(1\)
\(gcd(k,n)\) 积性的证明
\(gcd(k,1)=1\)
当 \(gcd(n,m)=1\) 时
\(gcd(k,nm)=gcd(k,n)\cdot gcd(k,m)\)
同上，考虑到 \(n,m\) 的质因数不重合，因此分别考虑它们质因数的贡献：次数和 \(k\) 的取最小值
