线性同余方程

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线性同余方程

对于同余式 \(ax\equiv b(\mod m)\)

我们可以得知 \(m\mid (ax-b)\)

因此，设 \(ax-b=-my\)

从而得到 \(ax+my=b\)

由裴属定理，显然，方程有解的条件为 \(gcd(a,m)\mid b\)

若满足上述条件，且 \(ax'+my'=gcd(a,m)\)

则显然， \(a({b\over gcd(a,m)}x')+m({b\over gcd(a,m)}y')=b\)

我们记 \(x_0={b\over gcd(a,m)}x',y={b\over gcd(a,m)}y'\)

则 \(ax_0+my_0=b\) 为该线性同余方程的一组解

而考虑 \(a(x_0-mz_0)+m(y_0+az_0)=ax_0-amz_0+my_0+amz_0=ax_0+my_0=b,z_0\in Z\)

可发现，实际上，线性同余方程具有多组解：

\(\begin{cases} x=x_0-mz_0 \\\ \\ y=y_0+az_0 \\\ \\ z_0\in Z \end{cases}\)

线性同余方程的正数解

求出 \(x_0,y_0\) 后

\(x\) 取最小正整数时，若 \(y\) 仍娶不到正整数，则无解；否则就已经是满足了的一组解

令 \(x=x_0-\lfloor{x_0\over m}\rfloor\cdot m\) 则可保证 \(x\) 为满足条件的最小正数

故取 \(z_0=\lfloor{x_0\over m}\rfloor\)

因此 \(y=y_0+\lfloor{x_0\over m}\rfloor\cdot a\)

即可进行判断