费马小定理与威尔逊定理
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威尔逊定理
最早由英国的威尔逊爵士提出
一个大于 \(1\) 的自然数为 \(p\) ，则它为质数的充要条件为 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\)
证明：
充分性我们使用反证法：设 \(p\) 是合数，则设其最小质因子为 \(a\)
由于 \(a<p\) 故 \(a\leq p-1\) 因此 \(a\mid (p-1)!\)
所以 \(a\nmid [(p-1)!+1]\)
又因为 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\) 因此 \(p\mid [(p-1)!+1]\)
由 \(a\mid p\) 得出 \(a\mid [(p-1)!+1]\) 矛盾
因此 \(p\) 不为合数
故 \(p\) 为质数
必要性我们这么来考虑：
首先 \(2-1\equiv -1\equiv 1\equiv 1!(\mod 2)\)
对于任意质数 \(p\) 考虑整数 \(n\in[1,p-1]\bigcap Z\) 令 \(n\cdot n\equiv 1(\mod p)\)
解得 \(n\equiv \pm1(\mod p)\)
所以，对于除了 \(1\) 与 \(p-1\) 的所有数，一定存在 \(m\) 使得 \(nm\equiv 1(\mod p)\)
而除了 \(2\) 的所有质数一定为奇数，则剩余的 \((p-3)\) 个数一定两两配对，乘积为 \(1\)
因此 \(\displaystyle (p-1)!\equiv 1\cdot\prod_{i=2}^{p-2}i\cdot (p-1)=1\cdot 1\cdot (-1)\equiv -1(\mod p)\)
费马定理
对于整数 \(p\) ，任意非 \(p\) 倍数的整数 \(a\) ，一定有 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)
考虑到对 \(\forall n<p,na\nmid p\)
因此 \([a]\) 为 \(p\) 的一个简化剩余类， \([na]\) 也为一个简化剩余类
对 \(\forall n<p,[na]\) 互不相同
故 \(\displaystyle \prod_{i=1}^{p-1}(ia)\equiv \prod_{i=1}^{p-1}i(\mod p)\)
\(\therefore \displaystyle (p-1)!\cdot a^{p-1}\equiv (p-1)!(\mod p)\)
由威尔逊定理得到 \(-1\cdot a^{p-1}\equiv -1(\mod p)\)
因此得到费马小定理 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)
当然，费马定理还有其它的形式，例如： \(a^p\equiv a(\mod p)\)
费马定理的推论
由 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\) 得
\(a^n\equiv (a^{p-1})^{n/(p-1)}\cdot a^{n\mod (p-1)}\equiv 1^{n/(p-1)}\cdot a^{n\mod (p-1)}=a^{n\mod (p-1)}(\mod p)\)
因此，对于求与模数互质整数很大的次方，可以用该方法优化
