快速幂

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递归式快速幂的原理

我们觉得对于整数的整数次幂，用 cmath 的 power 函数太慢了

而且对于一些最终结果取模的式子，用 power 函数可能会涉及到溢出的问题

因此我们考虑如何优化整数的整数次幂，这个问题的求解复杂度

朴素上，求解 \(a^n(a,n\in N)\) 需要 \(O(n)\) 的时间

我们现在这么考虑：

假设我们已知 \(a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\)

则，很快可以得到： \(a^n= \begin{cases} a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\cdot a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor},n \text{为偶数} \\\ \\ a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\cdot a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\cdot a,n \text{为奇数} \end{cases}\)

或者我们简记为 \(a^n=(a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor})^2\cdot a^{[2\nmid n]}\)

而求解 \(a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\) 就是一个递归的过程，递归边界 \(a^0=1\)

因此，我们只需要 \(O(\log n)\) 的时间即可求解

如果我们需要知道的是 \(a^n\%m\) 也只需要在实现的时候取模即可：

\(a^n\%m=(a^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}\%m)^2\%m\cdot a^{[2\nmid n]}\%m\)

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递归式快速幂的实现

递归式快速幂

int fpow(int a,int n,int m){
    if(n==0) return 1;
    int ans=fpow(a,n/2,m);
    ans=ans*ans%m;
    if(n%2==1) ans=ans*a%m;
    return ans;
}

当然，喜欢快速幂与三目运算符的可以进一步压行：

int fpow(int a,int n,int m){
    int ans=( n?fpow(a,n>>1,m):1 );
    return ans*ans%m*( (n&1)?a:1 )%m;
}

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非递归式快速幂

对于计算 \(a^n(a,n\in N)\) ，我们考虑将 \(n\) 进行二进制分解

例如 \(n=13=1101_{(2)},a^n=a^{13}=a^8\cdot a^4\cdot a^1\)

接下来， \(a^1\) 是已知的，而根据 \(a^k\) 能很快地推出 \(a^{2k}\) 次方

即根据公式： \(a^{2k}=a^k\cdot a^k(\%m)\)

因此，我们需要从 \(a^1\) 推出 \(a^{2^k}\) 需要 \(O(k)\) 次

而 \(n\) 的最高二进制位是不超过 \(\log n\) 级别的，因此复杂度也为 \(O(\log n)\)

实现也并不复杂：

int fpow(int a,int n,int m){
    int ans=1,bas=a;
    while(n!=0){
        if(n%2==1) ans=ans*bas%m;
        bas=bas*bas%m;
        n/=2;
    }
    return ans;
}

或者可以用上位运算，理论上会加速运算：

int fpow(int a,int n,int m){
    int ans=1,bas=a;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*bas%m;
        bas=bas*bas%m;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

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矩阵的快速幂

对于后期学到的矩阵，我们可以通过重载运算符的方式，同样可以使得求方阵的快速幂优化到 \(O(k^3\log n)\)

其中， \(k\) 为矩阵的边长

struct matrix{
    int num[MAXN][MAXN];
    matrix(){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                num[i][j]=(i==j);
    }
    ...
    matrix operator * (const matrix &x){
        matrix y;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                y.num[i][j]=0;
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    y.num[i][j]+=num[i][k]*x.num[k][j]%m;
                    if(y.num[i][j]>=m) y.num[i][j]-=m;
            }
        return y;
    }
}
...
matrix fpow(matrix a,int n){
    matirx ans,bas=a;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*bas;
        bas=bas*bas;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}