互质与欧拉函数

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互质

我们定义两个正整数 \(a,b\) ，若 \(a,b\) 的最大公因数为 \(1\)

对这类特殊的数对，我们称呼为互质

即 \(a,b\) 互质 \(\Leftrightarrow gcd(a,b)=1\)

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简化剩余类

考虑 \(n\) 的 \(n\) 个剩余类，其中对于所有与 \(n\) 互质的剩余类称为简化剩余类

可以证得，简化剩余类的数量为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)

我们从每个简化剩余类中抽出一个数，分别命名为 \(a_{1\cdots m}\) （即代表有 \(m\) 个简化剩余类）

易得到 \(\forall 1\leq i\leq m,gcd(a_i,n)=1\)

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欧拉函数

欧拉函数 \(\boldsymbol \varphi(n)\) 定义为：小于等于 \(n\) 的正整数中，与 \(n\) 互质的数的个数

我们引入符号 \([condition]\) 为一个值：当 \(condition\) 为真时，值为 \(1\) ；否则为 \(0\)

因此可以这么写： \(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)

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欧拉函数的性质

首先，根据定义，不难得出 \(\boldsymbol\varphi(1)=1\)

而根据质数的定义，还容易得出 \(\boldsymbol\varphi(p)=p-1,p\in Prime\)

因为所有比它小的数中，只有 \(1\) 是它的因数，其它的都与它互质；而 \(gcd(1,p)=1\)

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我们考虑质数的正整数次方：对于质数 \(p\) 的 \(k\) 次方 \(p^k\)

显然：小于等于它的数一共 \(p^k\) 个，只有含有质因数 \(p\) 的数与它不互质，这些数为：

\(p,2p,3p\cdots p^{k-1}\cdot p\) 共 \(p^{k-1}\) 个

故 \(\boldsymbol \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1},p\in Prime,k\in Z_+\)

同时还能得到递推式： \(\boldsymbol \varphi(p^{k+1})=p^{k+1}-p^k=p(p^k-p^{k-1})=p\cdot \boldsymbol\varphi(p^k)\)

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接下来我们证明欧拉函数的积性性质：

即 \(gcd(M,N)=1\Rightarrow\boldsymbol\varphi(NM)=\boldsymbol \varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\)

证明：

考虑到 \(N\) 有 \(\boldsymbol\varphi(N)\) 个简化剩余类， \(M\) 有 \(\boldsymbol\varphi(M)\) 个

则设 \(N\) 的简化剩余类中各取一个数，构成集合 \(A\) ； \(M\) 中的构成集合 \(B\)

因此 \(gcd(aM+bN,M)=gcd(bN,M)=gcd(b,M)=1,a\in A,b\in B\)

同理 \(gcd(aM+bN,N)=1\)

考虑到若 \(gcd(a,c)=1,gcd(b,c)=1,gcd(a,b)=1\)

则 \(a,b,c\) 所含的质因数互不相同，因此 \(gcd(ab,c)=1\)

因此，回归到上面：

由于 \(gcd(aM+bN,M)=1,gcd(aM+bN,N)=1,gcd(M,N)=1\)

因此 \(gcd(aM+bN,MN)=1\)

而 \(a\) 一共有 \(\boldsymbol \varphi(N)\) 个不同的取值，每个都满足 \((aM+bN\mod MN)\) 互不相同且 \(gcd(aM+bN,NM)=1\)

\(b\) 一共有 \(\boldsymbol\varphi(M)\) 个不同取值，也满足上式

故根据乘法原理：一共有 \(\boldsymbol\varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\) 个数使得 \(MN\) 互质

因此 \(\boldsymbol\varphi(NM)=\boldsymbol\varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\)

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欧拉函数的积性性质可以形成新的推论：

\(\displaystyle \boldsymbol\varphi(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m\boldsymbol\varphi(p_i^{c_i})\)

据此可演化出了欧拉函数的求法与筛法

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欧拉函数的求法

设 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\) 则

\(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=\prod_{i=1}^m\boldsymbol\varphi(p_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m(p_i^{c_i}-p_i^{c_i-1})=(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})\cdot(\prod_{i=1}^m(1-{1\over p_i})\ )\)

代入 \(n\) 的定义得 \(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=n\prod_{i=1}^m{p_i-1\over p_i}\)

用类似于质因数分解的方法即可 \(O(\sqrt n)\) 求出

sieve(sqrt(n));
int copy=n,ans=1;
for(int i=1;i<=cntprime;i++){
    if(copy%prime[i]!=0) continue;
    ans*=prime[i]-1;
    copy/=prime[i];
    while(copy%prime[i]==0){
        copy/=prime[i];
        ans*=prime[i];
    }
}
if(copy!=1) ans*=copy-1;

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欧拉函数的筛法

设 \(n\in Z_+,p\in Prime\)

若 \(p^k\mid n,p^{k+1}\nmid n,k\in Z_+\)

则 \(\boldsymbol\varphi(n\times p)=\boldsymbol\varphi({n\over p^k}\times p^k\times p)=\boldsymbol\varphi({n\over p^k})\cdot\boldsymbol\varphi(p^{k+1})=\boldsymbol\varphi({n\over p^k})\times p\cdot\boldsymbol\varphi(p^k)\)

故 \(\boldsymbol\varphi(n\times p)=p\cdot\boldsymbol\varphi(n)\)

若 \(p\nmid n\) 则 \(\boldsymbol\varphi(n\times p)=\boldsymbol\varphi(p)\cdot\boldsymbol\varphi(n)=(p-1)\cdot\boldsymbol\varphi(n)\)

总结起来就是： \(\boldsymbol\varphi(p\times n)=\boldsymbol\varphi(n)\times \begin{cases} p,p\mid n \\\ \\ p-1,p\nmid n \end{cases}\)

使用线性筛可以 \(O(n)\) 求出

int prime[MAXN],fc[MAXN],phi[MAXN],cntprime;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(fc[i]==0){
        prime[++cntprime]=i;
        fc[i]=i;
        phi[i]=i;
    }
    for(int j=1;j<=cntprime&&j<fc[i]&&j*i<=n;j++){
        fc[i*prime[j]]=prime[j];
        phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
    }
    phi[i*fc[i]]=phi[i]*fc[i];
    fc[i*fc[i]]=fc[i];
}