同余与剩余类
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同余
我们将除以同一个数，得到余数相同的数，称为同余关系
设 \(a=nq+r,b=nq'+r(n,q,q',r\in N,r<n)\) 则我们同样记为 \(a\mod n=r,b\mod n=r\)
这读作 \(a(b)\) 模 \(n\) 等于 \(r\) ，由于本人是 C++ 选手，故有时也写作 \(a\%n=r\) 等
所以有 \((a\pm b)\mod n=(\ (a\mod n)\pm (b\mod n)+n\ )\mod n\)
以及 \(ab\mod n=(a\mod n)(b\mod n)\)
同时，由于 \(a\mod n=b\mod n\) 我们记为 \(a\equiv b\equiv r(\mod n)\)
读作：（在模 \(n\) 意义下，） \(a\) 与 \(b(r)\) 同余
相对地，若不同余，则写作 \(a\not\equiv b(\mod n)\)
同时，我们可以得到一个很重要的性质：\(a\equiv b(\mod n)\Leftrightarrow n\mid (a-b)\)
证明也很简单： \(n\mid (q-q')n=(\ (nq+r)-(nq'+r)\ )=(a-b)\)
同余的性质
根据同余的定义，很容易得到：（证明都比较简单，不废话了）
\(a\equiv a(\mod n)\)
\(a\equiv b(\mod n)\Leftrightarrow b\equiv a(\mod n)\)
\(a\equiv b(\mod n),b\equiv c(\mod n)\Leftrightarrow a\equiv c(\mod n)\)
若有 \(a\equiv b(\mod n),c\equiv d(\mod n),k\in Z,m\in Z_+\)
\(a\pm c\equiv b\pm d(\mod n)\)
\(ac\equiv bd(\mod n)\)
\(ka\equiv kb(\mod n)\)
\(a^m\equiv b^m(\mod n)\)
当 \(gcd(a,n)=1\) 时 \(ab\equiv ac(\mod n)\Leftrightarrow b\equiv c(\mod n)\)
剩余类
很容易得到，对于 \(\forall m\in Z,n\in Z_+,m\mod n\) 只有 \(0\)~\(n-1\) 共 \(n\) 种结果
故我们将所有的整数，对 \(n\) 分为 \(n\) 类，称为 \(n\) 的 \(n\) 个剩余类
对，没错，就是按余数分：将所有余数相同的数，放到一个相同的集合里，这个集合就是它所在的剩余类
而对于 \(a\) 所在的剩余类，我们简记为 \([a]\)
因此，若 \(a\equiv b(\mod n)\Leftrightarrow [a]=[b]\)
比如在模 \(7\) 意义下， \([-1]=[6]=[20]=[-13]\)
剩余类的性质
由于在模同一个数的意义下，剩余类可以直接视为一种特殊的数字
因此，我们支持对剩余类进行类似数字的运算：
\([a]+[b]=[a+b]\)
\([a]\cdot[b]=[ab]\)
由于 \([a]+[0]=[0]+[a]=[a]\)
因此，我们认为 \([0]\) 是 \([a]\) 在运算中的零元
对于 \([b]+[a]=[0]\) 的剩余类 \([b]\) ，我们称呼为 \([a]\) 的负元
又由于 \([a]\cdot[1]=[a]\)
故认为 \([1]\) 为 \([a]\) 在运算中的单位元
对于 \([b]\cdot[a]=[1]\) 的剩余类 \([b]\) ，我们称呼为 \([a]\) 的逆元
并且，认为 \([a]\) 是可逆的
由上面同余的性质可证明：当且仅当 \(gcd(a,n)=1\) 时， \([a]\) 可逆
