约数与整除
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约数
约数即是因数，我们定义对于正整数 \(n,m\) ，若 \(\exist k\in Z_+\) 使得 \(n=m\times k\)
则，我们称 \(m\) 为 \(n\) 的约数
对称的， \(k\) 也为 \(n\) 的因数
整除
若正整数 \(m\) 为正整数 \(n\) 的因数，则对于带余除法式子的形式： \(n\div m=k\cdots r(0\leq r<m\) 且 \(k,r\in Z_+)\) 一定有 \(r=0\)
因此，我们认为 \(n\) 除以 \(m\) 为不带余的整数，或者称 \(m\) 除 \(n\) 为不带余的整数
也就是 \(m\) 整除 \(n\) ，记作 \(m\mid n\)
对于 \(r\neq 0\) 的式子，我们称 \(m\) 不整除 \(n\) ，记作 \(m\nmid n\)
约数的判断
由算数基本定理，我们可以得知，对 \(\forall a>1,a,c_i\in Z_+,a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m}\) 存在唯一表示方法
那么只有对于 \(\forall d_i\leq c_i,d_i\in N,(p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}\cdots p_m^{d_m})\mid a\)
我们先证明存在性：
记 \(\displaystyle a=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i},b=\prod_{i=1}^mp_i^{d_i},e_i=c_i-d_i\)
由于 \(d_i\leq c_i\)
故 \(e_i=c_i-d_i\leq 0\)
因此 \(p_i^{e_i}\) 一定为整数
记 \(\displaystyle c=\prod_{i=1}^mp_i^{e_i}\)
则 \(a=b\times c\) ，因此 \(b\) 为 \(a\) 的约数
由于证明对 \(\forall d_i\leq c_i\) 成立，故对所有符合上述条件的 \(b\) 均成立
再证明唯一性：
若 \(b\) 引入了新的质数，则对应的质数 \(a\) 不含有，故同上设置的 \(c\) 存在负数次方项，不为整数
因此若 \(b\) 需为 \(a\) 的因数，则不含有 \(a\) 的质因数以外的质因数
同样记 \(\displaystyle a=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i},b=\prod_{i=1}^mp_i^{d_i},e_i=c_i-d_i\)
若 \(\exist d_i>c_i\) 则对应的 \(e_i<0\)
故 \(p_i^{e_i}\) 不为整数，因此 \(\displaystyle \prod_{i=1}^mp_i^{e_i}\) 不为整数
此时 \(b\) 同样不为 \(a\) 的因数
综上，上述定理成立
约数的个数
我们习惯用字母 \(\boldsymbol d(n)\) 或 \(\boldsymbol \sigma_0(n)\) 表示
根据定义，我们可以列出表达式 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_0(n)=\sum_{d\mid n}1\)
考虑若 \(n=1\) 时，显然有 \(\boldsymbol \sigma_0(1)=1\)
而对于 \(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\cdots p_m^{c_m},\forall c_i\in Z_+\)
对于 \(d_m\) 的选择 \(0,1,2\cdots c_m\) ，与其它 \(d_i\) 都是相互独立的
因此 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_0(n)=\sum_{d\mid n}1=(\sum_{d\mid{n\over p_m^{c_m}}}1)\times (\sum_{d\mid p_m^{c_m}}1)=\boldsymbol \sigma_0({n\over p_m^{c_m}})\cdot\boldsymbol \sigma_0(p_m^{c_m})\)
而对于 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_0(p_m^{c_m})=\sum_{d\mid p_m^{c_m}}1=\sum_{k=0}^{c_m}1=(c_m+1)\)
因此 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_0(n)=\boldsymbol \sigma_0({n\over p_m^{c_m}})\cdot\boldsymbol \sigma_0(p_m^{c_m})=\boldsymbol \sigma_0({n\over p_m^{c_m}})\cdot(c_m+1)=\cdots=\prod_{i=1}^m(c_i+1)\cdot\boldsymbol \sigma_0(1)=\prod_{i=1}^m(c_i+1)\)
这是一个重要结论：\(\displaystyle \boldsymbol \sigma_0(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m(c_i+1)\)
约数的和
我们习惯用 \(\boldsymbol \sigma_1(n)\) 或 \(\boldsymbol \sigma(n)\) 来表示 \(n\) 的因数和
同样根据定义，我们得到 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\)
显然 \(\boldsymbol \sigma(1)=1\)
同样是考虑到了质数间的独立性，我们可以得到 \(\boldsymbol \sigma(n)=\boldsymbol \sigma({n\over p_m^{c_m}})\cdot \boldsymbol \sigma(p_m^{c_m})\)
而单独考虑 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma(p_m^{c_m})=\sum_{d\mid p_m^{c_m}}d=\sum_{k=0}^{c_m}p_m^k\)
因此，同上分析，我们得到了 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m(\sum_{k=0}^{c_i}p_i^k)\)
或者可以用等比数列公式化简：
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{c_i}p_i^k={1-p_i^{c_i+1}\over 1-p_i}\)
\(\displaystyle \therefore \sigma(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m{1-p_i^{c_i+1}\over 1-p_i}\)
约数的次方和
我们习惯用 \(\boldsymbol \sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的约数的 \(k\) 次方和
即 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\)
所以，同上分析，我们可以得到公式 \(\displaystyle \boldsymbol \sigma_k(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m(\sum_{j=0}^{c_i}p_i^{kj})\)
考虑 \(k=0\) 时：
\(\displaystyle \sum_{j=0}^{c_i}p_i^{0\times j}=\sum_{j=0}^{c_i}1=c_i+1\)
再考虑 \(k\neq 0\) 时
\(\displaystyle \sum_{j=0}^{c_i}p_i^{kj}={1-p_i^{k(c_i+1)}\over 1-p_i^k}\)
因此得到公式：
\(\displaystyle \boldsymbol \sigma_k(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})= \begin{cases} \displaystyle \prod_{i=1}^m(c_i+1),k=0 \\\ \\ \displaystyle \prod_{i=1}^m{1-p_i^{k(c_i+1)}\over 1-p_i^k},k\neq 0 \end{cases}\)
代入后发现，实际上 \(\boldsymbol \sigma(n)\) 为 \(k=1\) 特例，\(\boldsymbol d(n)\) 为 \(k=0\) 特例
