质数及其判法

目录

目录地址

上一篇

下一篇

什么是质数

数学家们希望用乘法表示所有的正整数

这时候，他们发现，有一些数字（假定为 \(p\) ），它们只能用 \(1\times p\) 的形式表示（不考虑负因数），其它不能写成任何别的形式

对于这种数字，他们称呼为 质数 ，或称呼为 素数

而换句话说，它们只能分解为 \(1\) 乘上它本身；也就是说，它的因数只有 \(1\) 与它本身

这就是质数最重要的性质，也是它的定义

而对于其它的数字，我们称呼为 合数

合数的一些性质我们将会在后面的贴子中提到

---

质数的判法

对于一个数字 \(n\) 我们如何判定它是不是质数呢？

根据定义，我们很容易想到：枚举数字，查询是否只有 \(1\) 与 \(n\) 是它的因数

而如果数字 \(m\) 是数字 \(n\) 的因数，很显然，存在数字 \(k\) 使得 \(k\times m=n\)

反过来，我们可以写作 \(n\div m=k\cdots0\)

也就是说，如果 \(m\) 是数字 \(n\) 的因数， \(n\) 除以 \(m\) 的因数一定为 \(0\)

既然质数的因数只有 \(1\) 与它本身，那么其他数字除完的因数就一定不能为 \(0\)

根据数字的因数一定小于等于它本身，我们很快就可以写出程序（以 C++ 为例）

bool isprime=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    if(n%i==0&&i!=1&&i!=n){
        isprime=0;
    }
}

当然，其实我们这样做的话，直接遍历的范围改成 \(2\)~\((n-1)\) 就行了

bool isprime=1;
for(int i=2;i<=n-1;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

这样一来，时间复杂度是 \(O(n)\)

---

优化

时间复杂度能更快吗？

可以的

我们现在的思路是：枚举数字，查看 \(n\) 是否是合数

但我们想想，如果 \(n\) 是合数，那么它一定能写成 \(n=m\times k(m,k\neq 1,n)\) 的形式

我们直接假定 \(m\leq k\)

那么，显然 \(m\leq \sqrt{n}\)

这一步的证明我们可以用反证法：

若 \(m>\sqrt{n}\) ， 则 \(k\times m\geq m\times m=m^2>(\sqrt{n})^2=n\) 就不是 \(n\) 了

所以 \(m\leq sqrt{n}\)

我们可以利用这个来优化我们的代码：我们修改上界，搜到 \(\sqrt n\) 即可

bool isprime=1;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

当然，能不用 sqrt 函数我们尽量就不要用，毕竟它还需要支持实数的运算，跑得并不快

我们用 i*i<=n 来代替 i<=sqrt(n) 可以降低常数

bool isprime=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

复杂度 \(O(\sqrt n)\)

当然，想优化常数还能再优化：判定完不是质数就可以直接退出了

bool isprime=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
        break;
    }
}

或者我们搞成内联函数的形式：

inline bool isprime(int n){
    for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}

这样就完成了