数据结构-树状数组（三）
学习笔记-树状数组（三）
树状数组（一）
树状数组（二）
通过树状数组的基本操作，我们可以实现区间查询和单点修改。结合差分，又可以实现单点查询和区间修改。那么，怎么才能像线段树一样，快速实现区间查询，区间修改呢？
由差分到前缀和
既然要区间修改，那么一定要使用差分数组而不是原始数组
由上一篇可见，c1+c2+...+ci=ai
也就是说，差分数组的前缀和=原数值
而原数值的前缀和=前缀和
所以前缀和=差分数组的前缀和的前缀和
虽然听起来有点绕，但是结论是这样
简单尝试推导
那么，可以推出如下算式
a1+a2+a3+...+ai
=(c1)+(c1+c2)+(c1+c2+c3)+...+(c1+c2+...+ci)
=c1*(i)+c2*(i-1)+c3*(i-2)+...+ci-1*2+ci*1
可以看出来，差分数组的第j个数会被加i-j+1次
...然而貌似还是很不方便
进一步推导
运用一些简单的数学知识（这块我也讲不明白），最后推导完毕的式子是这样：
a1+a2+...+ai
=(i+1)*(c1+c2+...+ci)-(c1*1+c2*2+...+ci*i) ——如果你不想写线段树，请牢记这个推导式
经过各种玄学等式变形，我们得到了这样一个算式，可以保证差分数组的第i个数被加i遍。
这样，只要建立两个差分数组的树状数组，一个存储ci、一个存储ci*i，就可以区间修改查询了。
结论（画重点）
为了方便调用，我们把树状数组建成二维tree[0][i]表示ci，tree[1][i]表示ci*i
那么在使用单点修改函数对差分数组单点修改时，要在tree0,i加k，在tree1,i加i*k
想要查询前缀和时，就可以计算(i+1)*(tree0,i的前缀和)-(tree1,i的前缀和)
程序实现
区间修改
我们在基础程序上加一维f，作为区分ci和ci*i两数组的变量
1 void add(int x,int k,bool f) 2 { 3 while(x<=n) 4 { 5 tree[f][x]+=k; 6 x+=lowbit(x); 7 } 8 }
然后把它套在前面加粗的那个斜体结论上
1 void update(int x, int k) 2 { 3 add(x, k, 0); 4 add(x, x*k, 1); 5 }
这就是完整的对差分数组单点修改函数
那么，使用差分数组的O(1)修改的特点，在主程序里进行两次update操作，就可以完成区间修改
比如要对x到y加上k，就可以这样
update(x, k); update(y+1, -k);
区间查询
和区间修改的变化一样的步骤，首先添加维度
1 int sch(int x, bool f){ 2 int ans = 0; 3 while(x >= 1){ 4 ans += tree[f][x]; 5 x -= lowbit(x); 6 } 7 return ans; 8 }
然后套用结论
1 int sum(int x) 2 { 3 int ans = (x + 1) * (sch(x, 0)) - sch(x, 1); 4 return ans; 5 }
最后，利用前缀和数组的O(1)查询的特点，在主程序里面调用两次sum，就可以了
比如要求出x到y的区间和，赋值给res，就可以这样
res = sum(y) - sum(x - 1);
例题
题目大意
实现区间修改和查询
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式：
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
程序实现
1 #include<cstdio> 2 #include<cctype> 3 #define ll long long 4 using namespace std; 5 ll n, m, tree[2][100010]; 6 inline ll read(){ 7 char ch = getchar(); 8 ll f = 1, x = 0; 9 while(!isdigit(ch)){ 10 if(ch == '-') f = -1; 11 ch = getchar(); 12 } 13 while(isdigit(ch)){ 14 x *= 10; 15 x += (ch & 15); 16 ch = getchar(); 17 } 18 return f * x; 19 } 20 ll lowbit(ll x){ 21 return x & (-x); 22 } 23 void add(ll x,ll k,ll f) 24 { 25 while(x<=n) 26 { 27 tree[f][x]+=k; 28 x+=lowbit(x); 29 } 30 } 31 void update(ll x, ll k) 32 { 33 add(x, k, 0); 34 add(x, x*k, 1); 35 } 36 ll sch(ll x, ll f){ 37 ll ans = 0; 38 while(x >= 1){ 39 ans += tree[f][x]; 40 x -= lowbit(x); 41 } 42 return ans; 43 } 44 ll sum(int x) 45 { 46 ll ans = (x + 1) * (sch(x, 0)) - sch(x, 1); 47 return ans; 48 } 49 int main(){ 50 n = read(), m = read(); 51 for(ll i = 1, a = 0, b = 0; i <= n; i++){ 52 b = read(); 53 update(i, b - a); 54 a = b; 55 } 56 while(m--){ 57 if(read() == 1){ 58 ll x, y, z; 59 x = read(); y = read(); z = read(); 60 update(x, z); update(y + 1, -z); 61 } 62 else{ 63 ll x, y; 64 x = read(); y = read(); 65 printf("%lld\n", (sum(y) - sum(x - 1))); 66 } 67 } 68 return 0; 69 }
