差分学习笔记

差分

（姗姗来迟的一篇学习笔记）

Part 1 一维差分

P2367 语文成绩

给出一个序列，支持修改，查询最小值。

在不考虑数据结构的情况下，有一种东西，叫差分。

他可以做到 $O(1)$ 修改，$O(n)$ 查询。

首先假设有一个序列：$1,6,8,5,10$ 。

他的差分数组就是：$1,5,2,-3,5$，$d_i=a_i-a_{i-1}$。

如果是要对区间 $[l,r]$ 加上某个数 $x$ 的话，只要在把 $d[l]$ 加上 $x$，$d[r+1]$ 减去 $x$ 即可。

原因就是，在修改完以后，我们需要遍历一次序列去更新新的 $a_i$。 $a_i=a_{i-1}+d[i]$，假设 $x$ 修改了 $[l,r]$，$a_{l+1}$ 就必然加上 $x$，由于 $d_{l+2}$ 并没有改变，也就是相差的数不变。加上这个数，$a_{l+2}$ 一样会更新。但是到了 $a_{r+1}$ 我们就不必加了，所以要减去 $x$。

$Code$

P1083 借教室

题目里边藏了很多细节，稍不注意到就会错过正解。

一旦遇到第一个不满足的，就直接停止分配。
按照先后顺序来借。先到先得。

看到第二个性质，不难想到二分查找来判断是否满足条件。

而对于从 $[l,r]$ 中借教室，可以使用差分轻松实现。差分数组保存的是每天的借的教室个数。

而二分的判断闭区间，就是对于 $[1,l]$ 是否可以满足借的原则来进行的一个二分查找 $l$。

判断内容就是差分，查询的时候看每一天是否满足 $room[i]$ 要求即可。

$Code$

Part 2 二维差分

和二维前缀和大同小异。

回顾一下二维前缀和：

sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]

P3397 地毯

先考虑修改，时间是 $O(1)$ 的。对四个方向操作即可。

再考虑查询：

通过看查询的步骤，就知道操作的意义了。其实和一维差分的性质是一样的。边界开头就增加，到了边界就减去。

在遍历的时候就是 $O(n^2)$，即：

d[i][j]=d[i-1][j]+d[i][j-1]-d[i-1][j-1]+a[i][j]

于是就结束了。了解本质即可。

$Code$

Part 3 树上差分

前置知识：LCA，可以左转 LCA学习笔记

回顾差分的最基本本质：在头（首位）加上修改的数，尾部减去修改的数，在遍历中就可以实现对这个序列的操作。

树上差分有两种，一种是点差分，另外一种是边差分。

先考虑边差分。

我们设 $d[i]$ 表示从 $i$ 到他的父亲的边的修改的值的和。

假设我们需要给 $p$ 到 $q$ 之间的边加上一个 $x$。

由于树有两个性质：

任意两个结点之间有且只有一条路径。
一个结点只有一个父结点（即只有一条返祖边）。

所以对两点之间的边的修改，就可以拆成$[p,lca(p,q)]$，$[q,lca(p,q)]$ 这两条路径。

于是乎就是数列上的差分了。就是
$ d[p]+=x,d[lca(p,q)] -=x,d[q]+=x,d[lca(p,q)] -=x $。

我们只需要如下操作即可：

\[d[p]+=x,d[q]+=x,d[lca(p,q)] -=2x \]

注意，在计算的时候，是由下往上回溯的，统计的是以 $u$ 为根的子树的和，如果当前的点 $u$ 高度大于 $p$ 且包含 $[lca(p,q),p]$ 内的结点，那么他的子树内必定包含 $[q,lca(p,q)]$ 的点，所以 $d[lca(q,p)]$ 只会减一次且不会减多。

第二种就是点差分。我们就用 $d[i]$ 表示当前 $i$ 的点所增加的值。我们还是增加 $[p,q]$ 间点的路径，我们首先是对 $d[p]+=x,d[q]+=x$，但是这样的话 $lca(p,q)$ 就会多加一个 $x$ ，我们需要减去。但是现在还有一个 $x$ 没有减去，按照一维差分，所以我们要在 $lca(p,q)$ 的父亲处减去一个 $x$。

所以点差分的操作就是：

\[d[p]+=x,d[q]+=x,d[lca(q,p)]-=x,d[fa(lca(q,p)]-=x \]

P8805 机房

树上前缀和模板，拿来练手的，不多说了。

自己写的题解

P3128 [USACO15DEC]Max Flow P

模板题，显而易见的事情，每次对隔间，也就是点 $p,q$ 进行操作，板子点差分，不讲。

$Code$

P3258 松鼠的新家

每次对参观的两个点进行操作，但是要注意，两次操作之间的起始点是不算的。在最后需要减去。注意终点也要减一。

剩下的还是点差分。

$Code$