最短路学习笔记

最短路学习笔记

这是一篇复习笔记，相对写的比较简单，勿喷 qwq。

本文均考虑双向边。

本文代码合集

1. $Floyd$

利用了 $dp$ 的思想，是最基础的最短路算法。

我们考虑 $dp_{i,j}$ 表示 $i$ 到 $j$ 的最短路径。初始化为一个无穷大的值。

如果有 $i$ 和 $j$ 之间有连边的话，我们就先把 $dp_{i,j}$ 和 $dp_{j,i}$ 赋成这最初的值，也就是初始化。

考虑转移，我们枚举一个中转的点 $k$ ，$i$ 到 $j$ 的路径就可以表示成 $i$ 到 $j$ 的路径，加上 $j$ 到 $k$ 的路径。

所以方程就是：

$$dp_{i,j}=min(dp_{i,j},dp_{i,k}+dp_{j,k})$$

在实现的时候应该注意，$k$ 要放在最外层循环。

如果 $i,k$ 或者 $j,k$ ，或者 $i,k$ 和 $j,k$ 都没有路径之间，由于我们初值是一个无穷大的值，按照如上方程，不可能更新 $dp_{i,j}$。

时间：$O(n^3)$，空间 $O(n^2)$。

除非 $n$ 较小，不然不常用，一般是用在双重 $dp$ 上。

同时一般使用邻接矩阵存图。

2. $Dijkatra$

通过这个算法，我们可以快速的求出从一个指定点 $s$ 到任意点的最短路，但是前提是边权必须为非负数。

对于一个点，我们每次选择和他连边边权最小的点一直往下走，同时对这个点相连的所有点进行最短路的更新。也就是贪心的思想，这样可以保证更新的点的最短路一定是当前能走到的最短的路径。

注意走过的点不可以不可以重复，避免没用的更新。

这样做的时间是 $n^2$ 的，考虑进行优化。

由于我们枚举边权最小的点进行更新的时候，时间是 $O(n)$ 的，如果我们考虑使用小根堆维护当前的边权最小，那就可以达到 $log(m)$ 的时间复杂度。

时间复杂度：$O(mlogm)$

空间复杂度 : $O(n)$

3. $SPFA$

考虑 $Dijkstra$ 的更新的时候，是通过当前遍历到的 $u$，不断地对 $v$ 进行更新最短路，也就是所谓的“松弛操作”。

我们考虑用一个队列维护可能可以进行松弛操作的点，对于一个点来说，如果他进行了松弛操作，显然他所连接的其他节点也有可能进行松弛操作，我们就把他们入队。

注意，一个节点不可以重复入队。

关于 $SPFA$，他死了。

死的原因在于，由于他的本质是 $Bellman-ford$ 算法，本质就是对每一个点，对图上所有的边都进行一次松弛操作，所以最坏的情况下，他可能被卡到 $O(nm)$ 的时间复杂度。

但是他的优势在于，他可以处理带有负权的图，同时可以判断负环。

时间：$O(m)$~$O(nm)$。

空间：$O(n)$。

4. 分层图最短路

就是，大概用在图的结构不修改，但是边权可以被改变 $k$ 次。

做法大概是你把原图复制 $k+1$ 次，从 $0$ 开始标号。看成一个一个“层”，在层与层之间，对原图可以操作的边在层和层之间的对应点连上单向边。

这下你就可以发现，你走完多少层，就相当于进行了多少次操作。因为你连的是单向边，所以你不能从 $i+1$ 层跳回去 $i$ 层了。所以上面的结论显然。

然后你再跑最短路即可。

对于你跑最短路中可能经过相同的边，就是在层和层之间相同的边。不难发现这样一定不优，这不会被统计到答案。

5. $Johnson$ 全源最短路

不会，咕咕咕。到时候学了再补。

6.次短路& $k$ 短路

不会，咕咕咕，到时候学了再补。