背包dp学习笔记

背包 $dp$

顾名思义，就是给你一个背包，然后给你一些物品，有一定的限制条件，然后求获得的最大值。

Part1 01背包

P1048 采药

大意：给一个背包，每个物品有对应的价值，重量（本题中时间就是重量），在背包容量下（采药的时间），求最大价值。

$01$ 背包二维方程

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i])$$

稍微解释一下，$dp[i][j]$ 前 $i$ 个物品，取 $j$ 的容量可以获得的最大价值。

$dp[i-1][j]$ 表示我不选当前这一件物品。

$dp[i-1][j-w[i]]+c[i]$ 表示我选当前这一件物品，首先我需要腾出 $w[i]$ 的空间，也就是 $j-w[i]$ 同时当前物品占一个位置，也就是 $i-1$ 最后，可以获得 $c[i]$ 的价值。

然后考虑压维。

直接设 $dp[j]$ 表示重量为 $j$ 是可以获得的最大值。

$$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+c)$$

（边输入边进行处理）

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=m;j>=w;j--)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+c);

从后往前枚举是防止重复。原因是如果是从前往后的话，可能会出现在同一个 $i$，$dp_j$ 被更新一次，$dp_{j+w}$ 再被更新一次，那这个物品就被取了两次，就不符合 $01$ 背包了。

方程的解释和上面基本雷同，就不多说了。

$Code$

练习：AT4526

_JF_的题解

Part2 完全背包

P1616 疯狂的采药

完全背包和 $01$ 背包不同的地方，就是物品有无数件。

所以状态就不再是取或不取，而是取 $0$ 件，$1$ 件，$2$ 件... $n$件。

先考虑朴素算法 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 件物品，消耗 $j$ 的空间，所可以获得最大值。

$$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]\times k]+k\times c[i])$$

我们只要再多一层循环，枚举件数即可。

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
		for(int k=0;k<=j/w[i];k++)
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]*k]+k*c[i]);

接着考虑压维。

$dp[j]$ 表示背包容量为 $j$ 时，所获得的最大价值。

方程就是

$$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+c)$$

但是要注意，这里的 $j$ 要从正序开始枚举。

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=w;j<=m;j++)
		dp[j]=max(dp[j-w]+c,dp[j]);

Part3 多重背包

和完全背包不同的是，这里有限制物品的数量。

P1776 宝物筛选

先考虑简单的方法。

思路：我将每件物品分成 取 $0,1,2...n$ 件，然后对取这一些件数进行 $01$ 背包。

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k\times w[i]]+k\times c[i]$$

然后考虑压维，就是

$$dp[k]=max(dp[k],dp[k-w[i]]+c[i])$$

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int k=m;k>=v[i];k--)
			dp[k]=max(dp[k],dp[k-w[i]]+c[i]),ans=max(ans,dp[k]);

时间复杂度为$O(V\times \sum n[i])$

但是，我们可以进行优化：

首先引入一个定理：对于任意正整数 $x$，都可以用这个式子表示：

$$2^0+2^1+2^2+...+2^k+s$$

$s$ 表示 $x-2^0...-2^k$ 的剩余部分。

那就说明，我们只用枚举这一些数($2^0$,$2^1$ 等)，并进行组合，加和，就可以轻松将 $0$ 到 $n[i]$ 之内所有的数表达出来。

这就对我们的这一行进行了优化。

for(int j=1;j<=n[i];j++)

对于 $2^0+2^1+2^2+...+2^k+s$，我们只需要 $log(n[i])$ 的时间预处理即可。

$O(V\times \sum log\ n[i])$

$Code$

P1833 樱花

稍微变形。

对于“可以看无数次”，看上去是完全背包，但是由于时间有限制，他最多可以看 $m/w[i]$ 次，于是就转换了。

$Code$

Part 4 二维费用背包

P1910 L国的战斗之间谍

相较于 $01$ 背包,就是多了一些限制条件。

$01$ 背包的限制条件是重量。

但是二维费用背包就是有两个限制条件。

也可能会有更多（那就多加几维）即可。

对于这一题而言，我们设 $dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个人花费 $j$ ,$k$ 代价以后所获得的最大值。

$$dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-t[i]][k-w[i]]+c[i])$$

通过观察，我们可以发现这一类题的套路：

每加一个限制条件，就多加一维，多加一层循环，以及 $[l-k[i]]$ 这样子的 $01$ 背包模式。

当然，我们可以压去 $i$ 这一维。

$Code$