ST 表学习笔记

ST表

ST表，这是一个好东西。可以用来查询区间最值，但是不可以进行修改。

它可以做到 $O(n\log(n))$ 预处理，$O(1)$ 查询。

前置知识：倍增，$dp$。

ST 表的优点就在于他可以用倍增来优化预处理的时间。

以模板为例。

【模板】ST 表

设 $dp[i][j]$ 表示第 $i$ 个数，$[i,i+2^j-1]$ 内的最大值。

考虑转移，对于当前的区间最大值，可以由两个小区间组合而成。

比如，如图中 $dp[1][2]$ 即可由 $max(dp[1][1],dp[3][1])$ 转移得到。 （ $[1,4]$ 由 $[1,2]$ 和 $[3,4]$ 合成）。

所以，转移的时候我们可以写成：

$$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])$$

然后，这就是类似一个区间 $dp$ 的过程，然后要考虑边界：

假设当前区间长度为 $12$，$i=6$，$j=3$ 的时候，表示的区间是 $[6,6+8]$，就不正确了。实际上，在 $j=3$ 的时候，$i$ 只可以取到 $[1,5(12-2^3+1)]$ 。

所以不难得出，$i$ 的边界在 $[1,12-2^j+1]$ 中。

关于求 $j$，我们知道 $2^j\leq n$，$j\leq \log(n)$，用 $\log2$ 函数即可。

以上部分是预处理，时间复杂度 $O(n\log(n))$。

现在就到了求最值。

假设我们需要求 $[l,r]$ 的最值，就是把两个 ST 表可以直接维护的小区间，合并成这个区间的最大值。

对于起始点，我们找一个ST 表内可以覆盖的最大区间，即 $\log(r-l+1)$，记为 $k$ ，这一段就是 $dp[l][k]$。

由于 $dp[l][k]$ 不一定可以覆盖完整个区间，我们还需要一个 $dp[r-2^k+1][k]$，（ $k$ 可以覆盖的区间是 $[L,L+2^k-1]$，大小是 $2^k$，所以就会剩下 $r-2^k$ 的数未被覆盖。而 $dp[r-2^k+1][k]$ 正好可以覆盖这部分的数）。

所以就可以 $O(1)$ 的求了。

$$ans=max(dp[l][k],dp[r-2^k+1][k]$$

其中，$2^i$ 可以写成 $(1<<i)$ 加快速度。

$Code$

P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

练手题，维护当前区间的最大值和最小值即可。

$Code$

P4392[BOI2007]Sound 静音问题

SP7739 BOI7SOU - Sound

做法和上面略同，不再赘述，可以练手。

当然，各位要注意的是，ST 表 只是一个数据结构，对于一个静态区间的题目而言，他只是一个工具，对一道题而言，只有想到怎么样转换，才是有意义的。

CF1548B

ST表+二分解决静态区间GCD 问题。

首先看到同余，转成求 $\gcd$ 的方法就是，差分。

根据余数的可减性，可以知道，求出 $\gcd$ 即可，即可同余。

这就转换成了求一个 $\gcd$ 不为 $1$ 的最大区间。

通过二分求即可。

$Code$

ST 表+欧拉序求LCA：

欧拉序，简而言之就是树的深搜，回溯的结点也需要标记。

拿最开始的图来说，他的欧拉序就是：$1,3,5,3,6,3,1,4,1$。

对于我们要找的两个点的LCA，就是他们两个点（如果一个点出现多次，任取一个）之间的深度最小值。

由于每个节点的深度是静态的，所以我们可以使用 ST 表维护。注意，维护的是区间内最小值的点的编号。

不会的同学可以左转：ST表学习笔记

$Code$