LCA学习笔记

本篇讲详细介绍 LCA 的各种求法。

LCA 指最近公共祖先，即两个节点之间距离最近的父节点。

如图，$5$ 和 $4$ 的最近公共祖先是 $1$。

P3379 最近公共祖先

1.倍增

时间：$O(n\log(n)+q\log(n))$

对于这个东西，大致思路如下：

每次首先预处理出每个节点的深度，假设我们现在求 $4$ 和 $5$ 的最近公共祖先，我们的做法是从深度较深的点开始往上跳，即 $5$ 跳到 $3$ ，这时候 $3$ 和 $4$ 再往上跳到达 $1$，即最近公共祖先。

但是这个时间复杂度可以达到 $O(n)$，于是，我们考虑倍增。即假设某一个结点要跳 $7$ 层，那它只用跳 $2^2+2^1+2^0$ 即可，这样，通过二进制，跳的时间可以优化到 $\log(n)$。

设 $fa[i][j]$ 表示结点 $i$ 的第 $2^j$ 个祖先的编号。就有

$$fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]$$

$f[i][j-1]$ 表示 $i$ 的第 $2^{j-1}$ 个祖先，记为 $x$，他的第 $2^{j-1}$ 个祖先就是 $i$ 的第 $2^j$ 个祖先 ，相当于跳了两个 $2^{j-1}$，就是 $2^j$ 。

void dfs(int node ,int fath)
{
	dep[node]=dep[fath]+1;
	fa[node][0]=fath;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[node];i++)
		fa[node][i]=fa[fa[node][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<g[node].size();i++)
	{
		int v=g[node][i];
		if(v==fath)
			continue;
		dfs(v,node);
	}
}

在查询 $x$ 和 $y$ 的最近公共祖先的时候，首先我们需要将较深的结点跳到和较浅的结点同一层，然后我们在按 $2^i$ 一个个尝试去跳。注意，如果跳到的节点相同，可能跳过了LCA，所以不取。

void LCA(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y])
		swap(x,y);
    	int d=dep[x]-dep[y];
 	for(int i=0; i<=log2(n); i++)                
    		if((1<<i)&d)
      			x=fa[x][i];
	if(x==y)//跳完后的结点刚刚好是y，那么y就是x,y的最近公共祖先
		return y;
	for(int i=log2(n);i>=0;i--)
	{
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	}
	return fa[x][0];
 }

$Code$

时间:5.17s。

2.ST表+欧拉序

时间：$(n\log(n)+q)$

欧拉序，简而言之就是树的深搜，回溯的结点也需要标记。

拿最开始的图来说，他的欧拉序就是：$1,3,5,3,6,3,1,4,1$。

对于我们要找的两个点的LCA，就是他们两个点（如果一个点出现多次，任取一个）之间的深度最小值。

由于每个节点的深度是静态的，所以我们可以使用 ST 表维护。注意，维护的是区间内最小值的点的编号。

不会的同学可以左转：ST表学习笔记

$Code$

时间：4.98s。

3. 树链剖分

时间：$O(n+q \log(n))$

树剖求LCA，就是让较深的节点不断的往上跳，直到两个节点都跳到同一条重链为止，这时候深度较小的那个点就是LCA。

$Code$

不会的同学左转 树剖学习笔记

时间：5.00s。

4.Tarjan

时间：$O(n+m)$

这是一个离线的方法，基于 $dfs$ 和并查集。

我们设两个点的为 $u$，$v$ ，$lca(u,v)=d$。

在 $dfs$ 的时候，一定是从 $d$ 开始，先查询到两点的某一点，再回来到另外个点。所以我们不可以确定哪个点可以先遍历，故存两次。

我们在每次遍历完 $u$ 的子树后，就把他和他的子树加入到他父节点的集合之中，在查询的时候，$lca$ 就是他们两者先遍历完的点的集合中的深度最小的结点。

$Code$

时间：5.99s （常数较大）

首选倍增，带 $\log$ 过不了的情况下写 Targan

THE END