树状数组学习笔记

前言：

这理论上是一篇复习的笔记，不会讲的很细，待到补测完再来完善。

概述&定义

先用一张图表示树状数组：

我们定义 $a_i$ 表示数组元素，$c_i$ 表示 $[a_{i-2^x+1},a_i]$ 之间数的总和，其中 $x$ 表示为 $i$ 在二进制下末尾 $0$ 的个数。

比如，$6$ 在二进制下表示为 $110$，$c_6$ 表示 $[a_{6-2^1+1},a_6]$ 之间的和。

实现

• 显然的，对于一个 $i$，我们要求它二进制下末尾 $0$ 的个数，使用 $lowbit$ 函数。

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

通过这个函数，我们就可以求出 $x$ 的上下级，即 $x+lowbit(x)$ 和 $x-lowbit(x)$。

• 单点修改

观察上面的那个图，很容易想到，如果我要修改 $x$ 的值，那么对应的，他的上级的 $c_i$ 的值也会改变，而刚才我们讲过求 $x$ 的上下级，所以直接对他的上级进行修改即可。

void update(int x,int val)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=val;
}

1. 单点修改单点查询

• 单点查询

对于一个点，在树状数组中，我们仅可以查询他的前缀和，如果我要查询 $a_i$ 的前缀和，那就是不断查询 $c_{x-lowit(x)}$ 的值并且相加。

int ask(int x)
{
	int sum=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
		sum+=c[i];
	return sum;
}

• 区间修改&区间查询

先考虑一个弱化问题，区间修改单点查询。

这可以维护一个 $d$ （差分数组）。

而区间修改就体现在差分上，假如对 $[l,r]$ 加上 $x$，那就是在 $l$ 上加上 $x$，在 $r+1$ 上减去 $x$，再跑一次前缀和就可以得到 $i$ 这个位置的数值。

先考虑如何区间查询，用 $s1(x)$ 表示 $\sum_{i=1}^x d_{i}$

假设我们要查询 $[l,r]$ 中 $a_i$ 的和，显然是：

$$\sum_{i=l}^r a_{i}$$

先考虑预处理出差分数组 $d$。

$$\sum_{i=l}^r \sum_{j=1}^i d_{j}$$ $$(r-l+1)\sum_{i=1}^{l-1}d_i+\sum_{i=l}^{r}(r-i+1)\times d_i$$ $$(r-l+1) s1(l-1)+(r+1)\sum_{i=l}^r d_i-\sum_{i=l}^r d_i \times i$$ $$(r-l+1) s1(l-1)+(r+1)+(r+1)(s1(r)-s1(l-1))-\sum_{i=l}^r d_i \times i$$ $$(r+1)\times s1(r) -l\times s1(l-1)-\sum_{i=l}^r d_i \times i$$

用 $s2(x)$ 表示 $\sum_{i=l}^r d_i \times i$。

所以最后就是：

$$(r+1)\times s1(r) -l\times s1(l-1)-s2(r)+s2(l-1)$$

对于 $s1$ 这个BIT，显然可以对 $l$ 加 $x$，对 $r+1$ 减去 $x$ 即可。

对于 $s2$ 来说，就是对于 $l$ 加 $x \times l$，对于 $r+1$ 减去 $(r+1)\times x$ （感性理解下，因为要维护的是 $d_i \times i$ 因为是单点修改，所以如上即可。）

• 区间查询最值

用处不大，静态不如 ST 表好写，动态不如线段树，不讲。

• 树状数组求逆序对

对于逆序对，我们考虑 $a_i>a_j$，并且 $i<j$ 称之为逆序对。

我们不妨开一个值域大小的树状数组，对于当前的数来说，我们对他单点修改加上 $1$，表示这个数出现了一次。

假设当前的数为 $a_j$，$1\le i \leq j$。首先对于所有的 $a_i$ 来说，必然有 $i<j$，我们再统计树状数组中 $j$ 的前缀和，也就是表示说在 $a_j$ 之前出现过的，且比他要小的数的出现次数，那么这一些数势必是 $a_i<a_j$，且 $i<j$ 的。那么对于前 $j$ 个数来说，统计出了比 $a_j$ 小的，剩下的势必就是满足 $i<j,a_i>a_j$的了，那以 $a_j$ 为结尾的逆序对数量就是 $j-sum_{j}$。

当然，开一个值域范围的树状数组可能会有一点问题，就是当值域太大时，我们需要离散化。

假设有两组数 $1,2,3$ 和 $1,2,1000$，其实对于以 $1000$ 为末尾的逆序对和以 $3$ 为末尾的逆序对是一样的。所以我们通过离散化来表示数与数之间的相对大小关系即可。

具体做法就是先对这个数组进行排序，然后赋值他相对的排名即可。

• 树状数组优化最长不下降子序列

和逆序对是如出一辙的。

首先你要知道有一个 $n^2$ 的 $dp$。

然后我们在这个 $dp$ 上要枚举前面的数，如果比他小就更新现在的值。

所以我们现在考虑优化这个过程。

我们开一个值域大小的树状数组，表示在 $a_i$ 小的数字出现次数为结尾的最长不下降子序列的长度。注意是边遍历一边更新，不能预处理，原因是目的要找 $[1,i]$ 中出现的，不然如果在 $[i+1,n]$ 中有 $[1,a_i]$ 的数就寄了。进来一个数就是单点修改，然后用 $log(n)$ 的时间找到最大值加一，单点修改即可。

upd in :2023.2.6 大力修改了一下树状数组区间修改，加上树状数组优化最长不下降子序列。

upd in:2023.2.7 修改了一点错误。