[COCI2009-2010#4] KABOOM

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考虑 $dp_{i,j}$ 表示长度为 $i$ ，前 $j$ 个段全部都是胶的方案总数。

这个方程显然适用于左边和右边。

我们以左边举例。

首先，如果翻折了且合法的话的话，翻完以后上边和下边显然都是有胶水的。

我们不可以从 $i$ 往前面翻折，因为这个 $i$ 是后面决策的中间部分，我们不可能从中间往前面翻折，所以我们考虑从 $1$ 往后翻折。

上面这张图就比较清晰了，翻折完以后还是两面带胶的，相当于最开始 $a,b$ 那一些段。

如上面这张图，表示的是把 $1$ 到 $k$ 这一段往后面翻折，就可以得到 $dp_{i-k,k}$ 这个状态，说明 $dp_{i-k,k}+=dp_{i,j}$，我们要严格使得翻折以后不能超过 $i$，所以 $k$ 应该在 $[j,i/2]$ 之间。

但是这样的时间复杂度比较大，我们考虑优化。

由于我们采用的是翻折的操作，我们考虑从某个点翻开，也就是逆推的思路，首先要知道，逆推的思路是绝对不会对最后答案有任何影响的。

通过当前的 $dp_{i,j}$，就相当于枚举 $k$，去进行翻开，对于 $dp_{i,j}$ 统计这个值。

在对于求和的时候，也就是翻开的时候，这时候的 $k$ 是在 $[j,i]$ 之间的。（从 $i$ 翻开，同时不能和前面 $j$ 个东西粘起来。）

然后我们就发现，这个和前面的 $[j+1,i]$ 的这个区间（表示的是 $dp_{i,j+1}$）这个区间表示的值是差了一个 $k=j$ 的情况，那么就是 $dp_{i-j,j}$ 了。

所以就有方程：

$$dp_{i,j}=dp_{i,j+1}+dp_{i-j,j}$$

在最后统计和的时候，由于公式是非严格的，也就是说要用 $dp[i][a]-dp[i-1][a]$ 来表示左边严格折到 $i$ 时的方案数（这样可以保证不会统计重复），所以对于 $a \leq i \leq n-b$ 来说（两面有胶的是不能翻折的），就有

$$(dp[i][a]-dp[i-1][a])\times dp[n-i][b]$$

最后输出答案就结束了。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =2000;
const int mod=10301;
int dp[N][N];
int main()
{
	int n,a,b;
	cin>>n>>a>>b;
	for(int i=0;i<n;i++)
		dp[i][i]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
			dp[i][j]=(dp[i][j+1]+dp[i-j][j])%mod;
	int ans=0;
	for(int i=a;i<=n-b;i++)
		(ans+=(((dp[i][a]+mod-dp[i-1][a])%mod)*dp[n-i][b]%mod)%mod)%=mod;
	cout<<ans<<endl;
}