数论学习笔记

费马小定理

对于一个质数 $p$，$\gcd(a,p)=1$，有：

• $a^{p-1} \equiv 1(mod$ $p)$
• $a^p \equiv a(mod$ $p)$

证明：

考虑一个序列 $[1,p-1]$，显然，对于其中任意一个数 $i$，都有 $\gcd(i,p)=1$，故 $\gcd(i\times a,p) =1$。( $a$ 和 $p$ 互质)

设 $f=(p-1)!$，$f \equiv 1 \times a \times 2 \times a \times ...\times (p-1)$ $(mod$ $p)$

整理一下，就有 $a^{p-1} \equiv 1(mod$ $p)$。

逆元

对于一个数 $a$，他的逆元就是 $a^{x} \equiv 1(mod$ $p)$，$x$ 就是 $a$ 在 模 $p$ 意义下的逆元。 简称 $a^{-1}$。一个数乘以他的逆元等于 $1$。

但是实际上是，在OI中没有除法，所以除以一个数，等于乘上这个数的逆元。当然前提是要有模数。

当然，我们可以使用费马小定理来求解逆元，那就是：

由于 $ax \equiv 1(mod$ $p)$，由费马小定理，我们有 $a^{p-1} \equiv 1(mod$ $p)$，故 $ax \equiv a^{p-1} (mod$ $p)$。移项过去就是， $x \equiv a^{p-2} (mod$ $p)$，默认 $x=a^{p-2}$ 即可。

所以随便弄个快速幂就好了，求解是 $\log$ 的，当然前提是 $a$ 和 $p$ 要互质。

当然，如果我们要快速处理出一段数的所有数的逆元，有 $O(n)$ 的做法。

线性求逆元：

• 预处理出来前 $i$ 个数的乘积 $s_i$ ，随后求出 $inv_n$，表示前 $n$ 个数的乘积的逆元。

• 然后从后往前推回去，乘上对应的 $a_i$ ，就可以求出来前 $i-1$ 个数的逆元 $inv_{i-1}$

• 再从前往后一次，$s_i$ 乘上 $inv_{i-1}$，相当于把前 $i-1$ 个数都消掉了，剩下就是 $a_i$ 的逆元。

扩展欧几里得：

裴蜀定理： 对于 $a,b$（已知数），必然会有一组 $x,y$，满足 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的不定方程（ $x,y$ 可正可负），只是记为，$a,b$ 均可以变换。

然后，拓展欧几里得算法是为了解决 $ax+by=c$ 的解（不定方程）的一类的问题。

根据裴蜀定理，如果这个方程有解的话，必然要满足有一组解，使得 $ax+by=\gcd(a,b)$，也就是 $\gcd(a,b) | c$。

先考虑 $a,b$ 互质的情况，因为有 $ax+by=\gcd(a,b)$。

由于 $ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$，（就看成把系数搬过去了），根据定义，我把定义里面的 $a,b$ 换成 $(b,\gcd(a,b)$，那可以方程可以变换成 $bx'+(a\%b)y'$。

$a\%b =a- \lfloor \dfrac{a}{b}\rfloor \times b$。（被除数，商，除数）。

考虑带入，就有$y'(a- \lfloor \dfrac{a}{b}\rfloor \times b)+x'b=1$。

展开并合并同类项，有 $y'a+b( x'-y' \times \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor)=1$ 。

再看回 $ax+by=1$，很好，这时候我们就可以得到：

$$x= y',y= x'-y' \times \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor$$

这时候我们就要求 $x'$ 和 $y'$。

如果 $ax+by=1$ 成立，带入 $x,y$ 用 $x',y'$ 表达，原式就可以变成：

$$bx' +(a\%b) y'$$

所以只用求这个式子，递归求解。

边界是如果 $b=0$，那带回原式 $ax=\gcd(a,0)=a$，故可以得到一组解释 $x=1,y=0$。回溯回去求就好了，求出来最后的解就是 $ax+by=1$ 的一组解。

如果要考虑 $ax+by=1$ 多组解的话，是：

经过上面的操作以后，我们得到了 $x_0$ 和 $y_0$，那所有的解就是

$$x=x_0+nb,y=y_0-na$$

如果是考虑 $ax+by=c$ 的多组解，那应该是：

$$x=x_0 \times c+nb,y=y_0 \times c-na$$

也就是对于 $ax+by=1$ 同时乘上 $c$ 而已。

如果不互质，方程两边同时除以 $\gcd(a,b)$ 即可。求出 $x_0,y_0$ 后即可。

当然扩欧也可以用来求 $ax \equiv b(mod$ $n)$ 的一组解。

如果 $b<n$，故 $b \% n =b$ 有：

$ax=\lfloor \dfrac{ax}{n} \rfloor \times n+ (ax) \% n$。（商，除数，余数）。

把 $\lfloor \dfrac{ax}{n} \rfloor$ 定义为 $y$。

原方程就变成了 $ax=ny+b$，求解方式类似。

同时的，扩欧可以用来求解逆元，因为逆元形如$ax \equiv 1(mod$ $b)$。

转换一下就是 $ax+by=1$ 的方程，求出 $x$ 即可。

还没写完。