KMP学习笔记

KMP 学习笔记

你说得对，但是还是怀着对于OI的热情来了。

好了，搞一下字符串。

考虑这样的一个问题，给出字符串 $S$ 和 $T$ ，在主串 $S$ 中找到子串 $T$ 。

先定义。

一个字符串 $S$ 是将 $n$ 个字符顺次排列形成的序列， $n$ 称为 $S$ 的长度，表示为 $|S|$ 。
定义前缀，表示从 $[1,i]$ 下标顺序组成的字符串，真前缀指字符串除了他本身的所有前缀。后缀就是从 $[i,n]$ 为下标组成的。真后缀定义类似。
为了方便，定义字符串 $S$ 中由下标 $[i,j]$ 组成的字符串记为 $S(i,j)$ 。

考虑求出这样一个数组 $f$ ， $f_i$ 表示 $S(1,i)$ 中，找到一个最长的真前缀 $S(1,j)$ ，满足该 $S(1,j)$ 是 $S(1,i)$ 的真后缀。 $f_i$ 保存的值就是 $j$ 。

他可以被 $O(n)$ 求出来，先让 $f_0=-1$ ，考虑递推，如果已经知道 $[1,i]$ 的答案，求 $f_{i+1}$ 。

如果 $f_i$ 保存的答案 $j$ ，满足 $s_{j+1}=s_{i+1}$ ，就有 $f_{i+1}=f_i+1$ 。
如果不满足，那就一直往后跳 $f_j$ ，一直到可以满足 $s_{f_j'+1}=s_{i+1}$ 为止。

这样做是没有问题的，原因在于，每次在往前跳的时候（比如从 $i$ 跳到 $f_i$ （也就是 $j$ ）），必定可以发现 $[j+1,i-1]$ 这段一定都是不合法的。因为根据定义，这之间的任何一个位置作为末尾的前缀必然不满足是他的真后缀，（去反证他，如果满足的话，那就和 $f_i$ 的定义违背了。）

那就达不到求解 $f_{i+1}$ 的目的。那既然全都不是，一直往前跳也就不会跳过可能的答案了。

而这个字符串的匹配，恰好是 $f$ 数组的应用。

考虑这样一个问题，给出主串 $S$ 和子串 $T$ ，要求在 $S$ 中找到 $T$ 。

考虑一个暴力算法，对于主串S，从前往后地，每次到第 $i$ 位作为起点开始匹配，匹配到对应字符位置不同位置，到 $i+1$ 去匹配。能匹配完就记录答案，这样做是 $O(nm)$ 的。

而我们可以做到 $O(n+m)$ 。

考虑对 $T$ 求出 $f$ 数组，每次在匹配的时候，比如到第 $i$ 位匹配不下去了，我们就对当前位跳 $f$ 数组，一直到满足 $T_{j+1}=S_{i+1}$ ，让 $i$ 作为终点，让当前的字符串匹配 $T(1,j)$ 的部分。

这么做也是对的，因为，只匹配 $T(1,j)$ 的部分，决定了以 $[l+1,r-1]$ 为起点去匹配都是不合法的。反证他，如果有比 $r$ 前的 $r'$ 可以的话，那必然会有一个更右的 $a'$ 和他去匹配，也就是 $T(1,a')=S(r',i)$ ，又因为 $T(1,j)=S(l,i)$ ，两段重合。所以有一个更前的 $T(b',j)=S(r',i)$ 。