CF176B Word Cut

CF176B Word Cut

挺厉害的一道题，做一些补充说明。

果然还是数数题不是很行。

首先可以观察到一点，对于一个字符，他在任何位置，他转一圈回来所得到的字符串是不会变化的，因为相对的顺序并没有改变。（其实可以手玩出来。）

所以就可以得到，这做了 $k$ 次操作，就相当于只做了一次操作。（也就是最后一次）。

所以现在要解决，在 所有和 $S$ 构成循环同构的字符串中，找到和 $T$ 相等的字符串，把 $S$ 复制一次跑字符串匹配即可，设符合的位置有 $x$ 个。

因为对于一个字符，在哪个位置操作对构成的字符串都没有影响。所以不妨在 $T$ 上操作，因为这样可以避免掉 $S$ 的第一个字符不能转的问题。且处理来的 $x$ 个位置，在 $T$ 中同样符合转一次，和 $T$ 重合的条件。

然后就设 $dp_{i,0/1}$ 表示转了 $i$ 次，和 $T$ 一样的种类，以及转出来其他串的情况。

转移就是：

$$dp_{i,0}=dp_{i-1,0}\times (x-1)+dp_{i-1,1}\times x$$ $$dp_{i,1}=dp_{i-1,0}\times (n-x)+dp_{i-1,1}\times (n-x-1)$$

在这里主要是注意一下不能从开头来转（因为没有位置可以断了），所以要减去 $1$，不然就是不操作，那就不合法了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e6+10;
const int mod=1e9+7;
#define int long long 
int k,f[N],dp[N][2],cnt,n;
char s[N],t[N];
void init(){
	f[0]=-1;
	int i=1,j=-1;
	while(i<=n){
		while(j!=-1&&t[i]!=t[j+1])	j=f[j];
		f[i++]=++j;
	}
}
void KMP(){
	int j=0;
	for(int i=1;i<=strlen(s+1);i++){
		while(j!=-1&&t[j+1]!=s[i])	j=f[j];
		j++;
		if(j==n&&i-n+1<=n)	cnt++;
	}
}
signed main(){
	scanf("%s%s%d",s+1,t+1,&k);
	string a=s+1,b=t+1;
	if(a==b)	dp[0][0]=1;
	else	dp[0][1]=1;
	n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)	s[i+n]=s[i];
	init(),KMP();
	for(int i=1;i<=k;i++){
		dp[i][0]+=(dp[i-1][0]%mod*(cnt-1)%mod+dp[i-1][1]%mod*cnt%mod)%mod;
		dp[i][1]+=((dp[i-1][0]%mod*(n-cnt)%mod)+(dp[i-1][1]%mod*(n-cnt-1)%mod))%mod;
		dp[i][0]%=mod,dp[i][1]%=mod;
	}
	cout<<dp[k][0]<<endl;
}