manacher 学习笔记

这第一名到底要多强

不用问 一定有人向你挑战

到底还要过多少关

不用怕 告诉他们谁是男子汉

可不可以不要这个奖

不想问 我只想要流一点汗

我当我自己的裁判

不想说 选择对手跟要打的仗

-----周杰伦《三年二班》

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manacher 学习笔记

放歌，以后一个学习笔记一首。以前的话，看心情补。

tmd，又要期末考了。痛苦，又要回去了。

低迷的状态，始终，都是黑暗的。

考虑这样一个问题，在一个字符串中，找到最长的回文子串。

对于一个字符串，它的对称中心就是这个字符串的中点，即关于这个位置两边的字符串完全相等（不包含该点）。

首先考虑，怎么判断某个字符串是一个回文串，不难发现，只用从他的对称中心往两边扩散，逐一匹配即可。所以就有了一个 $O(n^3)$ 的做法。

想到这里，就不难优化到 $O(n^2)$，考虑枚举可能的对称中心，往两边扩散即可。

但是，manacher 可以把他优化到 $O(n)$。

首先要解决一个问题，对于一个长度为偶数的字符串的，其对称中心其实不能是某一个具体的下标，这时候，我们考虑在每两个字符中间位置添加一个 #，以及在首尾添加 #。

• 对于一个奇字符串，它有偶个空格 $(n-1)$，再加上首尾两个 #，长度为奇数。

• 对于一个偶字符串，它有奇的空格 $(n-1)$，再加上首尾两个 #，长度为奇数。

至此，我们把原字符串所有的子串都变成长度为奇数的子串了，那么这样一来，其的对称中心，就有一个具体的下标。

继续引入，引入 $rad_i$ 表示以 $i$ 下标为回文中心的最长回文串半径，那么说明 $S(i-rad_i+1,i+rad_i-1)$ 是以 $i$ 为中心的最长回文串。（注意该半径包含 $i$）

引入 $R_j$ 表示 $\max_{1\le j \le i }(j+rad_j-1)$，$C_j$ 表示能取到最大位置的 $j$。

考虑对这三者进行归纳求解，首先 $rad_1=R_1=C_1=1$。

然后大力分讨：

• 如果 $i>R_{i-1}$，以 $i$ 为对称中心开始扩散，暴力，时间复杂度为 $O(R_i-R_{i-1})$，（实际上是从 $i -> R_i$ ）。
• 如果 $i<R_{i-1}$，这个时候知道对着 $C_{i-1}$ 对称过去，找到一个 $j=(C_{i-1}\times2-i)$，再进行分类：

如果 $i+rad_j\le R_{j-1}$，容易发现，$rad_i=rad_j$，这是根据回文串的性质，因为 $i$ 在以 $C_{i-1}$ 为中心，$rad_{C_{i-1}}$ 为回文半径的回文串中，时间复杂度为 $O(1)$。

如果 $i+rad_j>R_{j-1}$，看图，有一段是相等的（一直到 $R_{j-1}$），然后从 $R_{j-1}$ 开始，继续往后拓展，一直到不能匹配位置，这里的时间复杂度实际上是 $O(R_i-R_{i-1})$。

为什么对应的位置 $j$ 是最大的呢？因为根据回文串的特性，以 $C_{i-1}$ 为中心，$rad_{C_{i-1}}$ 为回文半径的这一回文串是固定的，且包含着 $i$，所以就一定会完全重合，也就是已经确定下来的了。

至此，我们求出来了 $rad$ 数组，感觉他我们可以推一些东西。

首先，对于一个长度为 $2k+1$ 的字符串，它在原串的长度实际是 $k$。

对于一个中心 $i$ ，他在新串中最长回文串的长度是 $rad_i\times2-1$，这实际上在原串的长度，就是 $rad_i-1$。能贡献的回文串数量，就是 $\lfloor rad_i/2 \rfloor$，这个可以推的。

关于时间复杂度，发现 $R_i$ 始终单调不降，所以时间为 $O(n)$。

int Manacher(){
	n=strlen(s+1);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)	S[i*2+1]='#';
	for(int i=1;i<=n;i++)	S[i*2]=s[i];
	n=2*n+1;
	rad[1]=R=C=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(i<=R)	rad[i]=min(rad[2*C-i],R-i);
		while(S[i-rad[i]]==S[i+rad[i]]&&i-rad[i]>=1&&i+rad[i]<=n)
			++rad[i];
		if(i+rad[i]-1>R)	C=i,R=i+rad[i]-1;
		ans=max(rad[i]-1,ans);
	}
	return ans;
}

P4555

很容易想到应该要求以 $i$ 为结尾/开头的最长回文串，以开头举例。记这个数组为 $p$。

如果仅仅通过求 manacher 求的 rad 数组，不能保证可以覆盖到全部的点，但是我们先把他标记到 $p$ 去。

用归纳法去想，如果现在已经知道了 $i-1$ 的答案，那么一种就是从 $p_{i-1}$ 直接过来，另一种就是 $i$ 这里本身就被标记答案了。$+2$ 原因是

$$p_i=\max(p_{i-1}+2,p_i)$$

结尾的递推方式和开头一样，相当于把字符串翻转求开头。

然后算算答案即可。

CF1080E

考察字符串的本质看出来了，只会一个 $O(n^4\times26)$ 的，但是能搞出来这样一道题，我觉得是有进步的。

至少除了正解对manacher的优化以外，其他都看出来了。

先考虑如果打乱字符怎么判断能否构成回文串，其实发现回文串的本质就是确定一个回文中心，然后不断往外扩展，所以只用统计 $26$ 个字符出现的次数，按照奇偶分类即可。

继续想，如果这样一个子矩阵是合法的话，必然能发现这一个子矩阵每行都是回文串，且是沿着打横的一条对称轴对称过去的。

（自己的做法是枚举打横的对称中心，然后上下扩展暴力找。）

所以我们不妨对这个子矩阵打横的字符串赋值（如果两个字符串的值相等，说打横的串重排成回文串后完全重合），（也就是把他们抽象成点）这时候，就只是相当于做打竖的找回文串了。

那我们就不妨枚举这个矩阵左右边界（所在的直线），把这 $n$ 个字符串都抽象成点，然后跑manacher，跑出来的回文串就满足打竖，打横，都是回文串了。

怎么表示两个打横的串的相对关系呢？这是一个Trick。可以哈希，对 a 到 z 依次对应的值记为 $p^0,p^1,p^2...p^{25}$，然后遇到一个字符加上对应的 $p$ 值，如果总和相等，就表示两个字符串是能够重排后完全重合的。

如果一个字符串无论如何重排都不能构成回文串呢？那直接用 $-1,-2,-3...$ 标记即可。这也是一个Trick。

然后就是实现细节的问题，记得乘法要 long long，底数 $10007$，模数 $1e9+7$。

CF17E

前前后后做了很久。期末考前就开始搞了，蚌。

首先第一点没有想到，正难则反，很多题其实都可以适当的套一下这个想法，可能会有提供一些解题思路上的帮助。

所以我们考虑统计不相交的对数，用总数减去就是答案。

后面都是自己想的。

那既然是算贡献，那就套路的考虑如果当前有一个回文串 $S(l,r)$ 了，怎么统计答案。

不难发现，这个答案就是从 $[r+1,n]$ 开头的回文串的总数，至于在 $l$ 左边和他不相交的回文串，由于我们是从左往右算的，这里就不用重复计算了。

计算从一个位置 $i$ 开始的回文串数量用差分即可，记这个数组为 $c$。（即每次在求解完 $rad_i$ 后，对 $i-rad_i+1$ 和 $i+1$ 修改即可，差分能解决静态区间加类似的问题。但查询要 $O(n)$。）

这里因为是一段连续区间的和，对 $c$ 做前缀和记为 $s$，$s[n]-s[r]$ 就是当前的贡献。

然后再考虑拓展，就是计算 $S(i-rad_i+1,i+rad_i-1)$ 中所有回文串的贡献，不妨把他写成和的形式，就发现他还是对连续区间求和，又要对 $s$ 做前缀和记为 $s1$。

然后剩下就是推式子的事情了，静下心了搞就可以。这里主要是分奇数和偶数进行一个讨论求和。

然后主要就是细节问题，记得开ll。

这个题主要给我们的启发就是，从一个字符串考虑-->进行拓展。求出来的 $rad$ 数组可以拍回到原串去解决很多问题，这是从原串的角度考虑的。

tmd，CF UKE。