二分图 学习笔记

怎么联合省选前啥都不会，但还是要尽力。

不放歌了，更加清爽一些。

定义：

• 一个无向图，满足他的所有点可以被划分成两个集合 $V1,V2$，相同集合内的点没有连边。这是从点的角度。

• 一个无向图，每一条边所对应的两个点属于不同的集合 $V1,V2$。这是从边的角度，个人感觉这个角度好理解。

这两个点集称为互补点集，这个图就是二分图，可以写作 $G(V1,V2,E)$，如果 $V1$ 所有节点和 $V2$ 邻接，那么这就是完全二分图，记 $|V1|=n,|V2|=m$，完全二分图可以写成 $K_{n,m}$，其中 $K_{1,n}$ 就是菊花图。

注意，$V1,V2$ 的划分不一定唯一。

同时，以下定义都是二分图：

• 无向图 $G$ 中没有奇环。（偶环可以二染色，图可以看成偶环缩点+DAG，现对DAG染色，然后对偶环染色即可。）
• 无向图 $G$ 可以二染色。（可以二染色就代表了每一条边对应的两个点属于不同集合。）

容易发现，树是二分图。

二分图染色

首先你要判断这个图是一个二分图。

染色的目的是要方便表示相对的关系，更加直观一些。

从边的角度考虑，很显然，如果确定了当前点的颜色，那么与他相连的点的颜色就能确定了。

那你不断染色以后，如果发现冲突（相邻点颜色相同），那就必然无解。

二分图匹配

匹配：定义如果一个无向图 $G$ 中找到一个边集 $M$，使得 $M$ 中任意两条边不邻接（没有公共点），那么 $M$ 就是 $G$ 的一个 匹配。

如果 $|M|$ 是所有方案中最大的，那说明 $M$ 是二分图的最大匹配。

如果 $G$ 中所有的点都和 $M$ 关联，那么这个匹配 $M$ 就是完美匹配，因为如果此时再加边的话就会有两条边邻接了，所以 完美匹配 一定是 最大匹配。

有结论：若 $G$ 有完美匹配，说明 $|G|=2|M|$。因为每次新加边都有新的两个点。

一种理解方式，你往 $M$ 加边的过程，每次就宣告了不能选取某两个点的所有边了。

如果 $G=(V1,V2,E)$，假定$|V1|<|V2|$，$M$ 是一个匹配满足 $|M|=|V1|$ 的话，$M$ 就是一个 完备匹配，完备匹配 也是 最大匹配，因为你每连一条边就用掉了 $V1$ 的一个点，最多就是 $|V1|$ 个了，如果你从 $V2$ 开始不优。

霍尔定理：$G=(V1,V2,E)$ 有完备匹配的充要条件是（可以互推）：对于任意正整数 $k<=|V1|$，满足 $V1$ 中任意 $k$ 个点和 $V2$ 至少 $k$ 个点相连。

我所能知道的只有两个：

• 如果不具备这样的条件的话，那么 $V1$ 多个点可以连向 $V2$ 一个点，这时候 $M$ 大小就一定不符合，就不是完备匹配。

实现（寻找二分图最大匹配）：

匈牙利算法。

因为是要求找到的边尽可能多，那么实际上就是能覆盖到的点尽可能多。尽量从边的角度考虑，再推到点。

二分图最大匹配对点的最大限制就是一个点仅可以对应一个点，同时保证数量最大。

定义一个数组 $mat$ 表示和 $v$ 匹配的点，初始值是 $-1$。

流程：

1. 在 $V1$ 中找到一个未尝试的点 $u$。
2. 找到一条和 $u$ 关联但是没尝试过的边 $v$。
3. 如果 $v$ 未被匹配，那么 $u$ 和 $v$ 匹配，跳到 $6$ 。
4. 如果 $v$ 匹配过了，不妨让 $mat_v$ 重新进行一个匹配（回到 $2$），如果能匹配成功，那么 $u$ 和 $v$ 匹配，到 $6$ ，否则到 $5$。
5. 如果还有没有尝试的边，接着尝试（跳到 $2$），否则到 $6$。
6. 如果还有没有尝试的点，到 $1$，否则结束。

正确性保证是霍尔定理。

尝试了 $|V1|$ 个点，然后最坏情况下每条边都试一次，时间是 $O(|V1||E|)$ 的。

bool color(int u){
	vis[u]=1;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(mat[v]==-1||(vis[mat[v]]==false&&color(mat[v]))){// 防止走环回来 
			mat[v]=u,mat[u]=v;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}
void Match(){
	memset(mat,-1,sizeof(mat));
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(mat[i]==-1){
			memset(vis,0,sizeof(vis));
			if(color(i))	ans++;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
}

P1330 封锁阳光大学

二分图染色板，但是自己一开始还看错结论，抽象。

我们不妨把任意一点赋值为 $1$，很显然，和他周围的点就要赋值成 $0$，这样一直染色下去即可。如果发现冲突就是无解。

因为你染色这个东西是相对的，所以你可以认为你在所有 $1$ 的位置放了河蟹，也可以认为你在所有 $0$ 的位置放了河蟹，两种情况取最小即可。