CF1578L Labyrinth

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比较厉害的题。

简化问题，如果是不考虑吃能不能走的话，那很显然我们要求路径上最小边最大，这显然是重构树。

看能不能考虑建出重构树以后，往树上思考，能够发现，如果我每次吃了糖果，增加了宽度，那必然会造成一些边不能走，换言就是重构树上一些子树，我走不进去了。 这就把这个题转换成一个树上问题，我维护的是路径最小值最大，可以保证正确性。

如果一个子树 $u$ 的点权小于当前宽度，那说明这个子树里面的所有点就必须要被吃完。因为要尽可能不留下点没吃，这说明我们可以从限制最大的点开始考虑。（不然以后体型变大无法吃了，不符合题意。）

因为要求求初始值最大，最值嘛，考虑动归吧。考虑设 $dp_u$ 表示走完以 $u$ 为根的子树，能有的初始值最大是多少。

每个点（非叶子）有且仅有两个儿子 $x,y$。考虑转移。

发现对于两个儿子，完整走完一个，再去走另一个，相交走一部分 $x$ 去走 $y$，其实是不劣的，因为你无论怎么走，吃完全部以后，都要回到当前点 $u$，而这个点的点权是路径上的最小值，非常关键。（因为下面子树内的点权都会不小于它。）

这下就可以转移了啊，直接根据定义即可：

$$dp_u=\max(\min(dp_y-s_x,c_u-s_x),\min(dp_x-s_y,c_u-s_y))$$

本质上就是分类讨论要先走 $x$，还是先走 $y$ 的一个动态规划。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =4e5+10;
#define int long long 
struct node{
	int u,v,w;
}a[N];
int Ans[N],n,m,siz[N],v[N],F[N],c[N];
vector<int> g[N<<1];
int Find(int x){
	return x==F[x]?x:F[x]=Find(F[x]); 
}
bool cmp(node a,node b){
	return a.w>b.w;
}
void Kuskral_CG(){
	sort(a+1,a+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=2*n-1;i++)	F[i]=i; 
	int cnt=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=Find(a[i].u),v=Find(a[i].v);
		if(u==v)	continue;
		cnt++,F[u]=cnt,F[v]=cnt,g[cnt].push_back(u),g[cnt].push_back(v),c[cnt]=a[i].w;
	}
}
void dfs(int u,int fath){
	if(g[u].size()==0)	{siz[u]=v[u];return ;}
	if(c[g[u][0]]>c[g[u][1]])	dfs(g[u][1],u),dfs(g[u][0],u);
	else	dfs(g[u][0],u),dfs(g[u][1],u);
	siz[u]=siz[g[u][0]]+siz[g[u][1]]+v[u];
	Ans[u]=min(c[u]-siz[g[u][0]],Ans[g[u][1]]-siz[g[u][0]]);
	Ans[u]=max(Ans[u],min(c[u]-siz[g[u][1]],Ans[g[u][0]]-siz[g[u][1]]));
}
signed main(){
	memset(Ans,0x7f,sizeof(Ans));
	cin>>n>>m;	
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>v[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)	cin>>a[i].u>>a[i].v>>a[i].w;
	Kuskral_CG(),dfs(2*n-1,0);	
	cout<<((Ans[2*n-1]<=0)?-1:Ans[2*n-1]);
}