格密码系列之一 ——相关的抽象代数基础概念
(一) 群
简单的说,一个集合和在集合上满足某些性质的运算就构成了一个群。
群包含一个非空集合G和一个运算*,运算保持封闭性,即对于 ,有 ,并且元算*满足下述性质:
- 单位元:任取 ,存在 ,满足
- 逆元
- 结合律
如果*也满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群。
|G|或#G表示群中元素的数量。
(二) 环
群是在一个集合上定义了一种运算,环是在一个集合上定义了“加法”和“乘法”两种运算,并存在分配律将它们联系起来。
环R就是在一个集合上定义两种运算,分别用+,*来表示,并满足如下运算性质:
(1)加法
- 单位元
- 负元
- 结合律
- 交换律
(2)乘法
- 单位元
- 结合律
- 交换律
(3)加法和乘法之间满足分配律
通常,环中的定义不要求乘法运算具有单位元和交换律,但是格密码讨论中的换都具有单位元和交换律。
(三) 域
如果环R中的每个非零元都有乘法逆元,则称R为域。
(四) 向量空间
若 的一个子集V满足
即V中加法和数乘运算封闭,则V是向量空间。
(五) 格
设 为一组线性无关的向量。由 生成的格指的是向量 的线性组合构成的向量集合,且其所使用的系数均在整数集合Z中,即