7 图

7 图

近3年初赛考察：

题号 题型 分值
2020 第8题 单项选择 2分
2021 第6题 单项选择 2分
2022 第9题 单项选择 2分

图

是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题(下图所示)，该问题于1736年被欧拉解决，因此普遍认为欧拉是图论的创始人。

有向图与无向图

边没有方向的图称为无向图。

边有方向，每条边只能从一端到另一端（单向性），的图称为有向图。

连通性

• 连通：在一个无向图 G 中，若从顶点i到顶点j有路径相连（当然从j到i也一定有路径），则称i和j是连通的。如果 G 是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。
• 连通图（无向图）：如果图中任意两点都是连通的(可以不是直接连通，间接连通也可以，只要有路径连接就可以)，那么图被称作连通图。
• 强联通（有向图）：若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通的。
• 弱连通（有向图）：若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图，则称原来这张有向图是 弱连通的。

简单图与多重图

• 自环：若图中存在从顶点i出发并指向顶点i的边，则该边称作一个自环。
• 重边：若图中存在两条完全相同的边，则它们被称作（一组）重边。
• 简单图：若一张图中没有自环和重边，它被称为简单图。
• 多重图：若一张图中有自环或重边，它被称为多重图。
• 度
  度：一个顶点在图中的度为与这个顶点相连接的边的数目。对于有向图，顶点的入度是指进入该顶点的边的条数，顶点的出度是指从该顶点出发的边的条数，有向图中顶点的度等于该顶点入度和出度之和。

邻接矩阵

• 邻接矩阵：存储图的常用方式之一，邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。其最显著的优点是可以O(1)查询一条边是否存在。

• 实现方法：使用一个二维数组a来存边，其中a[u][v]为1表示存在u到v的边，为0表示不存在。如果是带边权的图，可以在a[u][v]中存储u到v的边的边权。

练习

7-1

无向完全图是图中每对顶点之间都恰好有一条边的简单图。已知无向完全图G有7个顶点，则它共有（ ）条边。

A. 7
B. 21
C. 42
D. 49

7-2 对一个有向图而言，如果每个节点都存在到达其他任何节点的路径，那么就称它是强连通的。例如，下图就是一个强连通图。事实上，在删掉边（ ）后，它依然是强连通的。

A. a
B. b
C. c
D. d

7-3

在一个无向图中，如果任意两点之间都存在路径相连，则称其为连通图。下图是一个有4个顶点、6条边的连通图。若要使它不再是连通图，至少要删去其中的（ ）条边。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

7-4

由四个没有区别的点构成的简单无向连通图的个数是（ ）。

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

7-5

有 10 个顶点的无向图至少应该有（ ）条边才能确保是一个连通图。

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

7-6

设简单无向图 G 有 16 条边且每个顶点的度数都是 2，则图 G 有()个顶点。

A. 10
B. 12
C. 8
D. 16

7-7

设 G 是有n 个结点、m 条边（n≤m）的连通图，必须删去 G 的（ ）条边，才能使得 G 变成一棵树。
A. m−n+1
B. m−n
C. m+n+1
D. n−m+1

图的遍历

图的遍历算法，是求解图的连通性问题、拓扑排序、最短路和关键路径等算法的基础，通常有两种

深度优先遍历

类似于树的前序遍历；
假设初始时所有结点未曾被访问。深度优点搜索从某个结点V₀出发，访问此结点。然后依次从V₀的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直到所有和V₀有路径相连的点都被访问到。
若此时图中尚有结点未被访问，则另选一个未曾访问的结点作起始点，重复上述过程，直至图中所有结点都被访问为止。

如果从v3出发： 则遍历结果是：V3->V2->V1->V5->V4

//邻接矩阵初始化；
void dfs(int i) {   //深搜
   f[i]=true;  //置结点i为已访问标记
   for(j=1;j<=n;j++)    //按深度优先搜索的顺序遍历vi所有子树
         if ( ! f[ j ] && a[i][j] == 1)   dfs(j);   
	}
    // 调用一次dfs(i),可按深度优先搜索的顺序访问处理结点i所在的连通分支(或强连通分支)。

//整个图按深度优先搜索顺序遍历的过程如下：
void travel()
{
   	memset(f,0,sizeof(f));   //置所有结点未访问标志
   	for(i=1;i<=n;i++)
        if(!f[i]) dfs(i);  //深度优先搜索每一个未访问的结点
}

广度优先遍历

1. 在访问了v₀之后依次访问v₀的各个未曾访问的邻接点；

2. 然后分别从这些邻接点出发按广度优先搜索的顺序遍历图，直至图中所有可被访问的结点都被访问到。

3. 若此时图中尚有结点未被访问，则任选其中的一个作起始点，重复上述过程，直至图中所有结点都被访问到为止。

   换句话说，按广度优先顺序搜索遍历图的过程是以v₀为起始点，由近及远，依次访问和v₀有路径相连且路径长度为1，2，3……的结点。
   
   从v₃出发按广度优先搜索的顺序遍历，得到的结点序列是v3→v2→v4→v1→v5

queue<int>q;
q.push(x);//从源点x出发，源点入队
f[x]=true;//标记源点
while(q.size()){ //若队列非空，则访问与队首元素相连的未访问点，并入队
		int tmp=q.front();//
		//cout<<tmp<<" ";
		q.pop();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!f[i] && a[tmp][i]){//找到与队首元素相连的点，并入队
				q.push(i);
				f[i]=true;
			}
		}	
	}