3 排列组合

3 排列组合

分类加法和分步乘法原理

先来看这道例题！从甲地到乙地有两条路可走，从乙到丙地有三条路可走，从甲地不经乙地直达丙地有三条路可走，问从甲地到丙地的不同走法有几种？

• 1. 分类加法计数原理
     做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法法中有m₁种方法，在第二类办法中有m~
     2~ 种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法，不同类别的方法累加起来就是完成这件事的总方法数。即N=m₁​ +m ₂​ +…+m_n 种不同的方法。要做到不重不漏。
• 2. 分步乘法计数原理
     做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
     m₁种方法，做第二步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，不同步骤的方法数相乘就是完成这件事的总方法数。即
     N=m₁×m₂×…×m_n种不同的方法。要做到步骤完整。
• 3. 例题讲解
     从甲地到丙地有两类方法，由加法原理可知，将两类方法的数量加起来就是答案：

• 第一类方法：从甲直接到丙，共3种方法

• 第二类方法：从甲到乙，间接再到丙，共6种方法

该方法需要有两个步骤，所以需要用到乘法原理，从甲到乙2种方法，从乙到丙3种方法，所以一共有2×3=6种方法

因此，从甲到丙有3+6=9种方法。

理解了加法和乘法原理，接下来认识排列组合会更加轻松。

真题1

3-1

5 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法?
A. 48 B. 36 C. 24 D. 72

3-2

一家四口人，至少两个人生日属于同一月份的概率是（ ）（假定每个人生日属于每个月份的概率相同且不同人之间相互独立）。
A. 1/12 B. 1/144 C. 41/96 D. 3/4

3-3

由1, 1, 2, 2, 3这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。
A.18
B.15
C.12
D.24

排列

从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同。比如，4个数字1、2、3、4，选出3个数字，123是一个排列，321是一个排列，二者是两个不同的排列。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示，以下为排列数计算公式：

组合

什么是组合？
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同的时候，才是不同的组合。比如，4个数字1、2、3、4，选出3个数字，123是一个组合，321与123是相同的组合，因为二者包含的数字一样。

组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示，以下为组合数计算公式：

真题

3-4

有五副不同颜色的手套（共 10 只手套，每副手套左右手各 1 只），一次性从中取 6 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。

A. 120 B. 180 C. 150 D. 30

3-5

有6个人，两个人组一队，总共组成三只不区分队伍的编号，不同的组队情况有（）种。
A.10 B.15 C.30 D.20

3-6

甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）种。
A. 36 B. 48 C. 96 D. 192