积性函数与卷积

不定期更新的说呢...

积性函数

积性函数的概念：

如果一个函数 \(f(n)\) 在 \(a,b\) 互质的情况下满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\)， 则称其为积性函数

举例：

\(φ(n)\) —— 欧拉函数 ！

\(σ(n)\) —— 约数和函数

\(μ(n)\) —— 莫比乌斯函数 ！

\(σ_0(n)\) —— 约数个数函数

\(σ_k(n)\) —— 约数次数和函数（其实上一个函数也可归为此类）

完全积性函数的概念：

如果一个函数 \(f(n)\) 对任意整数 \(a,b\) 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\)， 则称其为完全积性函数

举例

\(\epsilon(n)\) 单位元函数 （在 n 等于 1 的时候为 1 , 否则为 0 ）

\(I(n)\) 恒等函数 （就是永远等于 1 ，在卷积的时候经常会用到）

\(id(n)\) 单位函数 （值为本身）

\(id^{k}(n)\) 幂函数

狄利克雷卷积

卷积的符号为 \(*\) （很像乘号）

运算法则如下：

对于两个函数 \(f,g\)，他们的卷积\(f*g(n)\)为 \(\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})\)

其中 d|n 表示 d 能被 n 整除， n m 互质的话就是 \(n⊥ m\)

至于莫比乌斯反演我只晓得大概的概念，用也不会用...稍微讲讲

这里要用到莫比乌斯函数（下面会讲），莫比乌斯反演大概就是讲：

若两个函数 \(f,g\) 满足 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\) （即\(f*I=g\)），

则我们用 g 来求出 f ，方法如下：

\[f(n)=\sum μ(d)\times g(\dfrac{n}{d}) \]

然鹅并不晓得运用（因为刷题少啊！）

好吧其实非常有用的地方就是数论分块（杜教筛）了

两个积性函数的卷积

两个积性函数的卷积必然是积性函数，这是一个定理...下面给出 proof：

若 f 、g 为两个积性函数， \(n ⊥ m\) （ n、 m 互质）

那么我们要证的就是 \(f* g(n)\ · f* g(m) = f* g(nm)\)

根据定义有：

\[f* g(n)=\sum_{d|n} f(d)g({n\over d}) \]

那么：

\[f* g(n)~·f* g(m)=\sum_{d|n} f(d)g({n\over d}) \sum_{d|m} f(d)g({m\over d}) \]

\[=\sum_{d1|n} \sum_{d2|m}f(d1)g({n\over d1}) f(d2)g({m\over d2}) \]

因为 \(n⊥m\) ，所以 \(d1⊥d2\)：

\[=\sum_{d1|n} \sum_{d2|m}f(d1·d2)g({n\over d1} · {m\over d2}) \]

\[=\sum_{d|nm} f(d)g({n\over d}) =f*g(nm) \]

证毕呢...

然后牢记一点，积性函数基本都是能线性筛出来的 0.0

关于欧拉函数 \(φ\)

欧拉函数就是对于 n ， 它的欧拉函数的值为 1~n 中与其互质的数的个数

它满足一个性质，就是 \(φ*I=id\)

证明？不是很会

其实证明方法很多，可以构造函数然后利用积性函数的性质加以证明

关于莫比乌斯函数 \(μ\)

这个东西满足一个性质，就是 \(μ*I=e\)

好了，说直白点就是：莫比乌斯函数是用来容斥的

当然，有的地方也得用到这个性质反过来的公式

关于除数函数 \(σ_1\)

这玩意儿能在线性筛的时候筛出来

首先我们考虑一个数约数和的公式：

\[σ_1(n)=\prod_{p∈prime} (1+p+p^2+p^3+...+p^{N_p}) \]

再写得简洁一点：

\[\sigma_1(n)=\prod_{p∈prime} \sum_{i=0}^{N_p}p^i \]

\(N_p\) 表示 n 中质因子的个数

这个公式就决定了该函数可以线性筛出来

推荐博文阅读：

https://lx-2003.blog.luogu.org/mobius-inversion

https://blog.csdn.net/u013632138/article/details/61623497

http://www.cnblogs.com/Colythme/p/9972264.html