PGCD2 - Primes in GCD Table (Hard)

这题肝了三四天，其他啥也没做...

传送门

然后...双倍经验

简单版

不知道为什么会脑抽去帮 LZ_101 大佬验题...

题目和被 A 穿的 PGCD 一样，数据范围变成大概 2e11 ...

于是我们就要考虑用更加优秀的做法去解决这道题了

首先我们得想到 PGCD 中最优秀的解法：

\[ANS=\sum_{i=1}^{n} \lfloor {n\over d}\rfloor \lfloor {m\over d} \rfloor \sum_{p∈ prime ,p|d} \mu({p\over d}) \]

这里我们令 \(sum(d)=\sum_{p∈ prime ,p|d} \mu({p\over d})\) ，那么这个东西可以在线性筛中预处理出来，具体方法看代码中线性筛处理部分

然后我们考虑数论分块时要能够 O(1) 得到这个 sum 的前缀和，那么我们发现这个函数不是积性函数（况且你能找到一个合适的 g 来和它卷积么），于是不能用杜教筛求解

那么我们自然想到可以处理非积性函数的 min_25 筛了

我们先 min_25 预处理出素数个数的前缀和

然后第二部分中一遍处理 Mu 的信息，一遍处理 Sum ，也就是需要求的答案

那么我们令 \(Sum(n,j)\) 表示 n 以内最小质因子大于等于 \(p_j\) 或是 质数的 sum 函数的前缀和，令 \(Mu(n,j)\) 表示 n 以内最小质因子大于等于 \(p_j\) 的 mu 函数的前缀和，然后转移就是：

\[Sum(n,j)=Sum(n,j+1)+Mu({n\over p_j},j+1)-Sum({n\over p_j},j+1)+2* j +({n\over p_j^{~~ 2}}<=p_j~ ?~ Mu({n\over p_j^{~~ 2}},j+1)+j ~:~ 0) \]

\[Mu(n,j)=Mu(n,j+1)+Mu({n\over p_j},j+1)+j \]

最后我们处理出来的所有 \(Sum(n,1)\) 就是数论分块里面要用到的 sum 的前缀和了

学过 min_25 的人都知道为什么这样推导吧...

code

代码... 人傻常数大.jpg

//by Judge
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define III __int128
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e7+3;
typedef int arr[M];
typedef ll ARR[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T>inline bool cmax(T& a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
inline ll read(){ ll x=0,f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} char sr[1<<21],z[21];int CCF=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,CCF+1,stdout),CCF=-1;}
inline void print(III x,char chr='\n'){
    if(CCF>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++CCF]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++CCF]=z[Z],--Z);sr[++CCF]=chr;
} ll n,m,MX,sq,cnt; III ans; arr v,p,id1,id2;
ARR w,h,mu,sum,S; III Sum[M],Mu[M]; unordered_map<ll,III> ANS;
inline void prep_sum(ll n){ mu[1]=1;
	fp(i,2,n){ if(!v[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1,sum[i]=1;
		for(int j=1,k;j<=cnt&&p[j]*i<=n;++j){ v[k=i*p[j]]=1;
			if(!(i%p[j])){ sum[k]=mu[i]; break; }
			mu[k]=-mu[i],sum[k]=mu[i]-sum[i];
		} S[i]=sum[i],sum[i]+=sum[i-1];
	}
}
inline int ID(Rg ll x){return x<=sq?id1[x]:id2[n/x];}
inline void prep_num(ll N){ if(N<=MX) return ;
	sq=sqrt(n=N),m=0; int tot=upper_bound(p+1,p+1+cnt,sq)-p-1;
	for(Rg ll l=1;l<=n;l=w[m]+1) w[++m]=n/(n/l),h[m]=w[m]-1,w[m]<=sq?id1[w[m]]=m:id2[n/w[m]]=m;
	fp(j,1,tot) for(Rg int i=m;i&&1ll*p[j]*p[j]<=w[i];--i) h[i]-=h[ID(w[i]/p[j])]-j+1;
	fp(i,1,m) Mu[i]=-h[i],Sum[i]=h[i];
	fd(j,tot,1) for(Rg int i=m,k,kk;i&&1ll*p[j]*p[j]<=w[i];--i) k=ID(w[i]/p[j]),kk=ID(w[k]/p[j]),
		Sum[i]+=Mu[k]-Sum[k]+(j<<1)-(w[kk]>=p[j]?Mu[kk]+j:0)-1,Mu[i]-=Mu[k]+j;
	fp(i,1,m) ANS[w[i]]=Sum[i];
}
inline III GET(Rg ll n){ return n<=MX?sum[n]:ANS[n];}
#define swap(x,y) (x)^=(y)^=(x)^=(y)
int main(){ int T=read(); prep_sum(MX=1e7);
	fp(i,1,T){ Rg ll n=read(),m=read(),bl;
		if(n>m) swap(n,m); ans=0,ANS.clear(),prep_num(n),prep_num(m);
		for(Rg ll l=1,r;l<=n;l=r+1) r=Min(n/(n/l),m/(m/l)),
			ans+=(GET(r)-GET(l-1))*(n/l)*(m/l); print(ans);
	} return Ot(),0;
}